[박수칠] 함수 f(x)g(x), f(x)/g(x)의 그래프 개형 (미적분2)
미적분2에서 미분법의 활용 단원의 문제들은
대부분 함수의 그래프와 연결됩니다.
특정 함수의 그래프 특성을 물어보는 문제도 있고,
접선 문제, 최대·최소 문제, 방정식·부등식 문제를 풀기 위해
그래프를 그려야하는 경우도 있습니다.
이를 위해 함수의 그래프 개형을 파악하려면
많은 요소들을 고려해야 합니다.
미적분1처럼 함수의 증가·감소와 극점 파악은 기본이요,
아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점, 점근선까지 알아야 하죠.
특히 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점에 대한 조사는
이계도함수를 이용해야 하기 때문에 귀찮습니다.
그런데 도함수나 이계도함수를 이용하기 전에
함수식의 특성만으로 그래프 개형을 어느 정도 짐작할 수 있다면
그래프를 그리거나, 그래프 관련 문제를 풀 때 상당히 유리하겠죠.
이 글에서는 함수식이
f(x)g(x)의 꼴 또는 f(x)/g(x)의 꼴로 표현되는 함수에 대하여
도함수와 이계도함수를 거치지 않고 그래프 개형을 파악하는 법에 대해
얘기하고자 합니다.
도함수나 이계도함수를 이용하지 않고 그래프 개형을 파악하는 과정은
다음의 3단계로 이루어집니다.
(1)단계: 함수식으로부터 다음의 요소들을 조사
① 우함수, 기함수 같은 그래프의 대칭성
② 정의역과 x절편
③ y값의 부호
④ 점근선
(2)단계: (1)단계에서 찾은 각 요소들을 좌표평면에 표시
(3)단계: (2)단계에 표시된 요소들을 곡선으로 부드럽게 이어주기
이 과정을 제대로 이해하려면 예가 필요하겠죠?
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 0과 1
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 x(x-1)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y > 0, 구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → 0 이므로 x → -∞일 때 점근선 y = 0
x → ∞일 때 y → ∞ 이므로 x → ∞일 때 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2)단계
x축 위에 x절편을 표시한 다음,
y의 부호에 맞춰 그래프가 지나는 모양을 표시
점근선의 위치도 y의 부호에 맞춰 표시
(3)단계
(2)단계에서 표시한 요소들을 곡선으로 부드럽게 이음
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
이 정도면 비슷하죠? ^^
계속해서 다른 예도 살펴봅시다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ (x-2)² ≥ 0 이므로 y의 부호는 lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, 2), (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
(함수식에 (x-2)²이 포함되어 있기 때문에
그래프가 x=2일 때 x축에 접함을 예상할 수 있음)
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ y의 부호는 x(x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y < 0, 구간 (0, 1)에서 y > 0,
구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → -∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향함
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프는 오른쪽 위로 향함
x → 0-일 때 y → -∞이므로 점근선 x=0
x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x=0
(분자 차수) ≥ (분모 차수)이므로 분자를 분모로 나누면
y = x -3 + 2/x 가 되고,
x → ±∞일 때 2/x → 0이므로 y ≒ x-3 으로 볼 수 있음
따라서 x → ±∞일 때 점근선 y = x-3
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 (x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 왼쪽 위로 향함
x → ∞일 때 y → 0이므로 점근선 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 2를 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → 0이므로 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 1을 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 2
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → 0이므로 x → 0+일 때 그래프가 원점으로 향함
x → 1-일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 1
x → 1+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 1
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(구간 (0, 1)에 변곡점이 존재하지만 개형에서는 확인 불가능)
지금까지의 예를 보면 이 방법이 참 잘 통하는 것 같은데…
그럴싸한 함수만 예로 들어서 그런 것이지
절대 만능은 아닙니다.
그럼 어떤 함수가 잘 통하는가?
f(x)g(x), f(x)/g(x)의 꼴에서 f(x), g(x) 각각이
실수 범위에서 예쁘게 인수분해되는 다항함수
또는 간단한 지수함수, 로그함수여야 합니다.
여기에 맞지 않다면
증가·감소와 극점, 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점을
파악하기 위해 도함수, 이계도함수에 대한 조사가 필수입니다.
예를 들어 다항함수 부분이
실수 범위에서 인수분해되지 않으면
x절편과 점근선만으로 극점의 위치를 예상할 수 없습니다.
다음은 함수 의 그래프입니다.
이 함수의 분자 5x²+3x+1이 실수 범위에서 인수분해되지 않기 때문에
x절편, y의 부호, 점근선만으로 그래프 개형을 그린다면
극대, 극소가 나타나지 않습니다.
그러니 잘 활용하되, 맹신하지는 마세요~ ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이번에 출제 가능성이 높습니다. 해설은 제가 이전에 쓴글 참고해주세요.
-
많이 지엽적이니 주의 깊게 풀어보세요
-
만들어봤음 ㅋㅋ
-
선거권의 차등부여는 평등선거 위반이 아닌 보통선거 위반 아닌가요?
-
본업을 젖혀두고 언젠가 한 번은 강의를 하겠다고 마음먹어 왔다. 처음엔 4년간...
-
중요한건 아니구요 공부가 부족해서... 법치주의와 민주정치의 관계 설명이 필요해요
-
법정 이건 함정파겠다! 하는 것들 여기서 공유해요! 21
이번 미성년자 상속포기 보면서 느낀건데, 여기서라도 자기가 생각하기에 "여기서는...
-
*보증금과 월세의 인상폭은 50%이내로 제한한다. *보증금을 내어주지 않는 경우...
-
10월 학평 법정 출제오류인가요(법정고수 혹 정외과 학부생님들 도와주세요) 6
10월 학평4번 문제인데요.여기서 병이 '권역별 정당 투표는 지역주의를 심화시키는...
-
법정 지엽 정리 4
법정하시는 분들 지엽정리 어떻게 하시나요?? 겨울방학때 최적T ebs 개념강의...
-
13번에 3번선지에 병이 검찰로 송치되었고 기소도 되었는데 형벌은 받지 않았고...
-
임대차 계약때 갑구나 을구가 바뀌는 경우가 있나요? +) 매매계약이면 전입신고...
-
적극적재산은 배우자가 50% 더 상속을 받는데, 소극적 재산도 마찬가지 인가요?
-
그 손해배상문제에서 '원상회복을 원칙으로 한다'가 맞는선지라고 나와있어서 잘 이해가...
-
우선 제가 뭐하는 놈인지부터 말씀드리자면 작년에 오르비에서 법과정치 자작모의고사...
-
책에써있는건 의사능력 답지는 책임능력 뭔가요 이건
-
우선 제보해주신 'holden' 님께 감사의 말씀을 먼저 드리겠습니다. 53페이지...
-
2016학년도 대학수학능력시험 대비 법과정치 단권화노트 「Law&Politics The Summary 2016」 배포 개시 23
1. 압축 푸는 방법 두 파일을 같은 폴더에 다운받아서 압축 푸시면 됩니다.둘 중...
-
제작중인 법과정치 자료들에 대해서 말씀을 좀 드리자면 3
1. 요약노트는 A4, 10pt로 작성중입니다. 2. 요약노트는 현재 헌법파트 중...
-
이런 식으로 법적 근거가 되는 조문 찾아서 넣어드리면 공부하시는데 도움이 좀...
-
제 나름 전공과목(?)인 정치학입문 시간에 들은 내용을 일부 선지에...
-
우선 그동안 빼먹었음에도 한문제밖에 못 만든 것에 대한 사과를 드립니다 ㅠㅠㅠㅠ일단...
-
죄송합니다 ㅠㅠㅠ 내일부터 빨리 문제 재생산을...
-
문항이 오류가 있어 수정한 것을 다시 올립니다.11~12시 즈음 정답 및 해설...
-
근로계약서 가지고 문제만드려다 까먹... ㅠㅠ 오늘도 자정즈음에.
-
문제 내는 입장에서 제일 재밌는 파트가 몇 군데 있는데그 중에 한 군데가 통치기구...
-
아이고 까먹고있었네 제가 죽일놈입니다 ㅠㅠ답과 해설은 자정 전후로! 근데 이거 쉬워요
-
PiaTe_20150315 법과정치 자작문항 1일차 11
스터디에 쓸 문제 하나 가져왔습니다.해설과 정답은 10시 이후에.
-
작년에 잠깐 했었던 거 같은데.. 하면 하실 분?
-
오르비분들은 금방 푸실 듯.수능특강 3강 부분이고 이런 문제를 3강에서만 3개를 더...
-
1. 국민 생활의 균등한 향상 인간다운 생활 균형 있는 국민 경제의 성장 및 안정...
-
질문 받습니다 6번에 ㄱ보기랑 20번 문제 좋네요.
-
스카이에듀 김현중 강사님 교재인데... 비싸네요. 별 거 없는 것 같은데......
-
가칭 "The NOTE" 구성 : 개념 + 문제풀이개념은 현재 교과서형과 요약형...
-
1. 교과서형 - 줄글로 설명. 대표적인 예시로 교과서와 누드교과서2. 요약정리형-...
-
3개년치 다 갖고있고 14랑 15용은 다 봤습니다. 14는 너무 지엽적이었고 15는...
-
찾으시는 분들이 가끔씩 계시길래 일단은 다시 올립니다.16수능 대비용 개정판이...
-
[퀴즈]다음 (가)~(다)에 대한 설명으로 옳은 것은? 19
(단, (가)~(다)는 우리 헌법의 기본 원리 중 하나이다.) 갑: (가)를...
-
올해 피아테노트 업그레이드판입니다.결론 = 법정은 자급자족
-
2016 수능, 법과정치를 선택한 수험생들을 위한 안내서 - 2. 학습법 (2) 인터넷강의 24
지균면접 준비하느라 이걸 한동안 못 썼습니다. 오르비에 뻘글 쓸 시간에 했으면...
-
2016 수능, 법과정치를 선택한 수험생들을 위한 안내서 - 2. 학습법 (1) 기본서 6
개론(?) 파트는 충분히 설명한 것 같으니 이제 본론인 학습법으로 들어가도록...
-
2016 수능, 법과정치를 선택한 수험생들을 위한 안내서 - 외전1. 법과정치는 누가 선택해야 하는가? 1
제일 앞에 적어야 되는 걸 지금 적고 있네요나 뭐했냐..어쨌든 간단하게나마...
-
2016 수능, 법과정치를 선택한 수험생들을 위한 안내서 - 1. 법과정치와 어울리는 과목은? 51
...제 성적표 가지고 설명할 게 있어서 일단 성적표 첨부해놓겠습니다.원래는 이번엔...
-
2016 수능, 법과정치를 선택한 수험생들을 위한 안내서 - 0. 법과정치는 어떤 과목인가? 0
고등학교 2학년인 작년 때부터 사탐으로 법과정치를 선택하고 공부했으니 올해로...
-
왜 권리구제형 헌법소원이 되는건가요? 지문에는 공권력의 행사나 불행사가 있었다는...
-
10월 25일 시행 제 직모에서 평등권의 성격을 가지고 더럽고 치사하게 낸 문제...
-
제 모의 13번에서 이걸 다루고 있는데2번 선지가 문제가 되더라구요.찾아봤는데...
-
DPS 모의고사 과목별 최고난도/최저난도 문항 공개 9
1. 윤리와 사상 최고난도 : 4번(정답률 7.69%)최저난도 : 2번(정답률...
-
1 삥쓩뽕쓩 42 2 JYS 42 3 Stevenstanley 36 4...
ㅗㅜㅑ
개꿀 팁 사랑합니다
와 2분만에 첫플!
감사합니다 ^^
이거 삽자루센세가 기출이랑 해모 해설할때 쓰시던 것이네요 ㅎㅎ 유툽에서 보고 신기해서 배워뒀네요
2014학년도 수능 30번 문제 풀 때 진짜 쓸만하죠~
난만한씨의 곱함수의 그래프 개형이 기억나군요 ㅋㅋ
한완수 최신판도 본문처럼 설명되어 있나요?
2012년에 나온 한완수 가지고 있는데
거기서는 f(x), g(x) 각각의 특성을 조합하는 방식으로
그래프를 그렸던 것 같거든요. (좀 어렵...)
네 지금도 f(x),g(x) 로 각각 나누어서 각각의 특성을 이용하여 간단한 개형을 추론하는식으로 나와있을꺼에요 . 저는 도함수와 이계도함수를 이용하지않고 개형을 추론해보는것에 주목해서 생각난다고 말한듯 ㅎ
아~ 그렇군요.
좀 어렵긴 하지만 확장성 면에선 한완수에 기술된 방식이 더 좋죠.
본문의 방식은 x절편이 없으면 망이라... ^^;
t->inf t^2/e^t =0인건 어떻게..아나요??
1. ∞/∞꼴이고 분모·분자가 모두 미분가능하기 때문에 로피탈 정리를 2번 씁니다. 로피탈 정리 적용 결과가 수렴하기 때문에 문제 없습니다.
2. e^t을 테일러 급수로 전개합니다. 그럼 차수가 무한대인 다항식이기 때문에 위 극한이 0으로 수렴함을 알 수 있습니다.
3. 고등학교 과정 내에서 설명하려면 세 단계를 거쳐야 합니다.
(1) n → ∞일 때 e^n / n² →∞의 증명
e=1+h로 두면 이항정리에 의해 다음이 성립합니다.
e^n = (1+h)^n = nC0 + nC1·h + nC2·h² + nC3·h³ + ···
= 1 + n·h + { n(n-1)/2 }·h² + { n(n-1)(n-2)/6 }·h³ + ···
e^n / n² = 1/n² + ( 1/n )·h + { (n-1)/2n }·h² + { (n-1)(n-2)/6n }·h³ + ···
여기서 네 번째 항 때문에 n → ∞일 때 e^n / n² → ∞입니다.
(2) (1)로부터 n → ∞일 때 n² / e^n →0임을 알 수 있습니다.
(3) (2)로부터 x → ∞일 때 x² / e^x →0임을 알 수 있습니다.
ㅎㅎ 이항정리 방법일 것 같았습니다. 미2 내용만으로 설명할 수 있는 방법이 있나요ㅡ?
+1. 에서 로피탈..? 정리 적용 결과가 수렴하면 문제없나요?
이항정리로 보이는 방법 알고 계셨나요?
전 어떤 분이 이항정리로 증명하는 건 어떻겠냐고
아이디어 던져줘서 알아낸건데... ㅡㅡa
로피탈 정리에 대해선 다양하게 찾아봤는데
'로피탈 정리 적용 후에도 수렴해야 한다'라는 조건까지
붙이는 것이 가정을 제일 tight하게 적용하는 경우더라구요.
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
이 이상의 제약 조건이나 반례는 아직 못찾았습니다.
이전에 학생들 가르칠 때, 어디 학원에서 배워왔다고 하더군요 ㅎㅎ
미적분내용이아니어서 그냥 넘겼었는데..
로피탈 정리 적용 결과가 0이 아닌 값에 수렴해도 되나요?
그랬군요 ^^;
로피탈 정리는 적용 후에 0이든, 0이 아니든
상수로 수렴하기만 하면 문제 없습니다.
lim_(x→∞) { (x+sinx) / x } 처럼
분모·분자 미분 후 발산하면 로피탈 정리를 적용할 수 없구요.
대칭성의 유무는 어떻게확인하나요..?
정의역의 임의의 원소 x에 대하여
(1) f(-x)=f(x)가 성립하면 y축에 대해 대칭 (우함수)
(2) f(-x)=-f(x)가 성립하면 원점에 대해 대칭 (기함수)
(3) f(a-x)=f(a+x)가 성립하면 직선 x=a에 대해 대칭
(4) f(a-x)=-f(a+x)가 성립하면 점 (a, 0)에 대해 대칭
등이 있습니다.
그래프 그릴 땐
(1), (2)에 해당되는지 판단하는 걸로 충분하구요.
헐 개꿀... 감사합니드..♡
저도 감사드리고,
꼭 써먹을 기회가 왔으면 좋겠네요~ ^^
이관데 박수칠 미적12둘다샀는데 미적1은 어느정도 깊이로 하면될까요 ?기본문제위주로하고 수능모위기출까지는풀지말까요?
최소로 잡아도 본교재에 실린 기출은 모두 보는 것이 좋다고 생각합니다.
직접 출제 범위는 아니지만 발상이나 해법이 미적분2와 연결되니까요.
최대로 잡으면 여기( http://orbi.kr/0005897498 )에 있는
부교재 연습문제까지 다 푸는 거구요.
아울러 정오표도 꼭 참고해주시구요.
교재 구입 감사드리고,
오류/오타 때문에 학습에 불편을 드려 죄송합니다.