역함수의 교점이 y=x위에 있는지 판별할 수 있다.
[1] 학원에서 역함수의 교점이 y=x위에만 있는 곳은 아니란걸 배우고 문제 풀때 이런 상황을 바로 판별하기 의해 만들었다.
[2] 역함수의 교점이 y=x위에만 있진 않을수도 있다.
만약 y=x위에 있지 않은 교점이 있다면 그 점은 P(a, b)(a≠b), 그리고 함수 f(x)와 그 역함수는 Q(b, a)를 지난다. (역함수는 y=x대칭), P, Q를 지나는 직선은 y=-x+p
하지만 [증가함수와 감소함수는 최대 한 점에서 만나기에*1] 증가함수는 (y=-x+p와 최대 한 점에서 만나기에) P, Q중 최대 한 개만 지날 수 있다.
*1
f 증가, g 감소
f, g의 정의역의 임의의 원소 x1, x2
x1>x2면 f(x1)>f(x2)
x1>x2면 g(x1)<g(x2)
교점을 (a, b)라고 하면
x>a, f(a)>b>g(a)
x<a, f(a)<b<g(a)
즉, 교점이 있다면 1개
또는 없다.
[3]
즉, 증가함수와 역함수의 교점은 항상 y=x위에 있다.
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