분수 해석과 상댓값 (feat.화학2, 근수축)
분수 해석과 상댓값_.pdf
분수 해석과 상댓값 (feat.화학2, 근수축)
안녕하세요^^ 제가 수험생활 때 자주 쓰던 작은 팁을 공유하려 합니다.
이미 아시는 분들도 있겠지만 그래도 써볼게요.
처음 쓰는 칼럼이니 부족한 점이 있어도 너그럽게 봐주세요^^
<EBS손은정 선생님, 오르비 전자책 어나더클래스의 영향을 일부 받았음을 알려드립니다>
◇분수 해석
생1의 근수축, 화2의 화학반응식 문제에서는 분수로 제시된 자료를 제시하는 경우가 많습니다.
특히 화2에서는 분수 자료가 매우 잦죠.(특히 몰 분율같은)
또한 근수축 문제에서도 분수자료가 많이 활용되고 있습니다.
이렇게 자주 제시되는 분수 자료를 좀 더 쉽고 빠르게 해석하는 법을 공유하려 합니다.
일단 사전개념으로 '변화량' 과 '고정값' 이란 용어를 소개하겠습니다.
☆변화량
변화량은 어떤 상황에서 변화하는 다양한 값 중 하나의 변화 정도를 기준으로 잡고 그에 대한 다른 값들의 변화 정도의 상댓값을 나타낸 것입니다.
예를 들어, 생1에서 한 근육 원섬유 마디에서 전체 마디(기준)의 변화량을 상대적으로 +2라 하면 H대의 변화량도 +2입니다. 또 액틴과 마이오신이 겹치는 부분의 절반은 -1의 변화량을 갖죠.
(위 그림에서 X의 변화량을 +2라 하면 ㉠의 변화량은 +1, ㉡의 변화량은 -1, ㉢의 변화량은 +2 입니다.)
또한, 화학에서는 예를 들어 화학 반응식 A+2B->2C 이 있다고 하면 저는 A의 변화량을 -1, B의 변화량을 -2, C의 변화량을 +2라 정의하겠습니다.
☆고정값
이 부분이 이 글의 핵심입니다. 결론부터 말하면 '변화량을 연산하여 0을 만든다' 입니다.
먼저 230610 생1 문제를 보겠습니다.
위 자료에서 분수의 1,2,4 등은 약분을 거친 결과이기에 서로 같은 스케일의 수로 볼 수 없습니다. 다시 말하면 예를 들어 위의 ㉡의 2는 4의 절반의 값이라고 할 수 없죠. 그러나 고정값 활용을 이용하면 약분 전의 분수, 즉 같은 스케일로 분수를 조정할 수 있게 됩니다. 이는 변화량을 이용함으로 가능합니다.
위 분수에서 분자의 변화량은 ㉠-㉢= (+1)-(+2)=-1 입니다.
(꼭 ㉠의 변화량을 +1이라 할 필요는 없습니다. 한 마디의 변화량을 +1이라 하면 ㉠의 변화량은 0.5가 됩니다)
이때 분모의 변화량은 -1이고요. 이때, 분모와 분자의 변화량을 적당히 상수배하고 더하거나 빼서(일차결합) 0을 만들 수 있는 방법을 찾아 봅니다.
이 경우는 (분모의 변화량)-(분자의 변화량) 혹은 (분자의 변화량)-(분모의 변화량)이 0이 되겠네요.
그러면, 그 0이 된 연산의 값은 항상 일치해야 합니다. 이 일정한 값을 고정값이라고 하겠습니다.
다시 말해 위 경우라 하면 (분모)-(분자)의 4-1과 2-1은 서로 같아야 합니다.
그런데 3과 1로 서로 다르죠? 그러면 적당히 통분을 해서 같게 해 주면 됩니다. 즉 1/2를 3/6으로 만들면 됩니다. 그러면 (분모)-(분자)의 값은 모두 3으로 같게 됩니다. 물론 문제 상황에 따라서 2/8와 6/12 로 바꿔도 되겠죠?
그런데 여기서 (분모의 변화량)-(분자의 변화량) 이 0이면 왜 서로 뺀 값이 항상 같아야 하는지 궁금하실 수 있습니다. 그 이유를 수식적으로 보이면, 예를 들어 분수 a/b에서 분모의 변화량이 +2, 분자의 변화량이 +1이라 합시다. 여기서 0을 만들려면 2×(분자의 변화량)-(분모의 변화량)=0 인데 a와 b가 각각 변화했을 때 분수는 a+x/b+2x 꼴로 표현됩니다. 이는 2×(분자)-(분모)의 값인 2a-b 의 값이 일정하다는 의미입니다.
이 개념은 화2에도 동일하게 적용됩니다.
특히 몰 분율 해석에 유용하죠.
여기서는 화학 반응식의 계수를 변화량으로 쓰면 편리합니다. 여기서 반응물의 계수는 (-)부호를, 생성물의 계수는 (+)부호를 붙이면 됩니다.
230919 화2 문제를 보겠습니다.
이 문제에서 A/B+C 형태의 분수에서 분자의 변화량은 -1, 분모의 변화량은 +2 이므로 2×(분자의 변화량)+(분모의 변화량)=0 입니다.
이때 (가)에서 2×(분자)+(분모)의 값들은 각각 5,10,20 인데 모두 같아야 하므로 최소공배수를 찾으면 되겠네요. 즉 20으로 통일하면 분수들은 각각 4/12, 2/16, 1/18 이 됩니다(보통 숫자가 큰 분수가 변하지 않는 경우가 많습니다).
다른 문제를 보겠습니다.(221119)
여기서도 분자의 변화량이 +1, 분모의 변화량이 -2 이므로 2×(분자의 변화량)+(분모의 변화량)=0 입니다.
그러므로 2×(분자)+(분모)의 값들인 15(7은 7/1로 봅니다), 60을 최소공배수 60으로 바꾸면 각각 28/4, 29/2 가 됩니다.
또한 (나)에서 초기 몰 분율이 2/3이라는 말을 분수값이 1/2 이라는 의미로 이해할 수 있으므로 2×(분자)+(분모)의 값들은 반응 전 4, 3t일때 16으로 이해할 수 있습니다. 따라서 반응 전의 분수를 28/4, 29/2 로 볼 수 있습니다.(반감기가 t라는 것도 바로 확인되네요^^)
◇상댓값
'상댓값' 을 이용하면 분수해석을 더 효율적으로 사용할 수 있습니다.
상댓값이란 별게 아니라 실제적인 수치(실제값) 대신 값들 사이의 비율을 간단한 자연수 등으로 바꾸어 사용하는 것을 말합니다. 예로, 바로 위 문제에서 (가)의 2t의 A의 양을 2, B의 양을 29라 보는 것입니다. 물론 정확한 실제값이 아니기에 나중에 다시 바꾸어야 하겠지만 몇 가지 주의사항만 지키면 계산이 편리해집니다.
앞에서 소개한 생1 230610 문제를 보겠습니다.
먼저 t1보다 정보가 많은 t2 에서 X의 길이를 상대적으로 30이라 하겠습니다. (상댓값과 실제값은 ×10의 규칙을 갖겠네요.) 그러면 A대의 길이는 16이므로 ㉠은 7이고, 7-㉢/㉡=1/2, 2㉡+㉢=16 을 연립하여 ㉡=6, ㉢=4 라는 것을 알 수 있습니다. 여기서 만일 고정값을 활용하지 않는다면 다시 t1의 상태를 알기 위해 일차방정식을 풀어야 하겠지만 고정값 활용을 통해 분수를 각각 1/4와 3/6으로 이해한다면 바로 t1에서 ㉡=4 라는 것을 알 수 있고 바로 ㉠=9, ㉢=8 이라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 각 수 앞에 소수점. 만 찍어주면 자료해석 완료!
(이때 실제값으로 되돌리지 않으면 큰일나요)
다른 문제도 볼까요?
(230919)생1
여기서는 F1에서㉠의 길이를 상대적으로 1, ㉢도 1이라 합시다. 그러면 X/㉡=4이므로 3+2㉡=4㉡, 즉 ㉡=1.5 입니다. 여기서 A대의 길이는 상대적으로 2×1.5+1=4이므로 상댓값과 실제값 사이에 ×0.4의 규칙이 있음을 알 수 있습니다.(A대의 길이가 1.6이기 때문에)
여기서 F2의 상황을 분석할 때 변화량과 고정값이 활용됩니다.
㉢의 변화량은 +2, ㉠의 변화량은 +1이라 하면 ㉢-2㉠의 변화량=0인데 F1의 1을 1/1로 보면 ㉢-2㉠의 값이 F1과 F2의 값이 -1로 같습니다. 그러므로 F2에서의 ㉢의 상댓값을 3, ㉠의 상댓값을 2라 할 수 있고 변화량에 의해 ㉡은 0.5라 할 수 있겠네요. 이제 모든 상댓값에 0.4만 곱해주면 끝납니다.
여기서 직관적으로 1/1 --> 3/2 이면 분모 1증가, 분자 2증가라서 따로 손댈 필요가 없다는 것이 보이면 그것도 훌륭합니다.
상댓값을 활용할 때 주의할 점은 상댓값이란 것을 항상 인지해야 한다는 것과 실제값과의 규칙(비례상수)를 잊지 말아야 한다는 것입니다.
이를 위해서 문제 풀 때 ×0.4 식으로 따로 규칙을 눈에 띄게 적어주는 것을 추천합니다. 또한 너무 깔끔한 상댓값에 집착하는 것도 지양해야 합니다. 꼭 자연수 상댓값이 아니더라도 소수점 한 자리 정도까지는 자연스럽게 계산하면 좋겠습니다.(화2에서 특히)
화2 문제도 풀어보겠습니다. (230919)
(가)상황: 앞에서 보았던 것처럼 A/B+C 형태의 분수에서 분자의 변화량은 -1, 분모의 변화량은 +2 이므로 각각 4/12, 2/16, 1/18로 볼 수 있고 온도 T1에서의 반감기는 t임을 쉽게 알 수 있습니다. (가)의 반응전 상태에서 A의 양을 상대적으로 8이라 하면 (t에서 4이니까) A의 양은 실제 2몰이므로 상댓값과 실제값 사이에 ×4의 규칙이 있음을 알 수 있습니다. 이를 적어두고 자료를 분석하면 초기>t로 변화할 때 A4감소, B4증가, C4증가 이므로 t에서 4/12의 12=4b+8, b=1입니다. (이후 풀이는 생략)
화2 에서는 굳이 상댓값을 실제값으로 바꿀 필요가 없는 경우가 상당히 많습니다. 이 문제처럼 실제값이 제시되어 있어도 비례상수만 잘 써두면 필요할 때 바꾸면 되죠.
화2 몇 문제만 더 보겠습니다.
(220718)화2
B/A 에서 (분모의 변화량)=-1, (분자의 변화량)도 -1 이므로 분모-분자의 값은 항상 일정해야 합니다. 실험1의 초기상태에서 B-A의 값이 1이므로(PV=기체의 양 이라고 할게요) 실험1의 평형상태에서의 3을 1.5/0.5로 보아야 합니다.(3=3/1->3-1=2이므로 1을 만들기 위해 분모,분자에 1/2를 곱하여)
실험2의 평형상태에서의 6도 초기상태의 B-A의 값인 2를 고려하여 2.4/0.4로 바꿉니다. (이하 생략)
사실 이 문제를 손은정 선생님께서 이런 방식으로 푸셨고 저가 그걸 보고 더 발전시켜서 하나의 테크닉으로 사용하게 되었습니다.
하나만 더 소개하겠습니다.
몰 분율도 일종의 분수입니다. B의 몰 분율은 B/A+B+C 인데 B의 변화량은 -2, A+B+C의 변화량은 (-1)+(-2)+(2)=-1입니다. 그러므로 2×(분모)-(분자)의 값이 일정하다는 것을 알 수 있습니다. (가)에서는 초기상태에서 2×(분모)-(분자)의 값이 2×(0.5)-(0)=1이므로 1/3에서의 2×3-1=5를 1로 바꾸기 위해 분모, 분자에 0.2를 곱해서 0.2/0.6으로 바꾸면 되겠습니다. 즉, B 0.2, A 0.2, C 0.2몰이 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
(나)에서는 초기의 2×(분모)-(분자)의 값은 2x-0=2x이므로 2/5의 2×5-2=8이므로 분모, 분자에 x/4을 곱하면 B 0.5x, A 0.25x, C 0.5x 가 있다는 것을 알 수 있습니다.
변화량을 생각하고 고정값을 찾는 이 방법은 처음에는 어색하고 느릴 수 있지만, 익숙해지면 빠르고 정확하게 분수 자료를 해석하는 유용한 방법이 될 수 있습니다. 여기에 상댓값도 같이 이용하면 더욱 좋고요.
제가 소개한 것들 외에도 다양한 문제에서 활용될 여지가 있습니다. 이 글이 많은 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠습니다.
처음 쓰는 글이라서 오타나 오류가 있을 것 같은데 지적해주시면 감사하겠습니다.
감사합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
야 현피뜨자 0
010-1557-2557 전화해
-
없나용??
-
옯비언들의 선택은??!!
-
마트치킨초밥 4
맛있어용
-
어떻게 저능 그 자체인 나를 이해시킨거지
-
현타온다 1
다 재미없고.. 하 뭐지 뭐 한거도 없는데 슬럼프인가..... 컨디션은 최상인데...
-
나 서울교대 붙을때도 시립대 7칸 경희대 7칸 중대 6~7칸 이랬는데 요샌 외대...
-
뭐로 할까?
-
지금 제 상황이 좀 많이 엿된 것 같은데 질문부터 말하자면, 9평 전까지 화학의...
-
T1 왜 짐? 0
ㅅㅂ 뭐임 아니 사우디컵 어떡하냐거 월즈 먹고 너무 못하네
-
수2미적 패파 스텝3까지 벅벅하고 기출실모 병행해야지 0
최대한패파빠르게..
-
오늘 공부하다가 오른쪽 귀 소리가 아예 안들림 에어팟 노이즈캔슬링 낀 것 처럼 병원...
-
MBTI드립치기
-
24일차
-
다들 꼭 성공했으면 좋겠음요 오르비언들도 힘내요
-
길이로 각도 재고 중선, 스튜어트 정리도 그냥 코사인법칙 2번이고 미적분에서도...
-
삼수하면서 느낀 점 11
여름은 수험생들의 무덤이라는 말 작년에 재수하면서는 잘 못느꼈는데 올해 진짜...
-
제 닉을 2
오늘부터 제 모토로 하려고요. 여러분도 포기하고 싶을때가 있겠지만 꼭 견뎌내고 목표한바 이루시길…
-
신민우 권현석t중에 누가 더 나은지도 알려주세용
-
요즘은 그냥 일찍가네......너도 힘든거니....... 늦게까지 공부하는 애들 존경한다 진심으로.
-
삭제된거 내용 확인하는데 그냥 다른사람이 쓴글보는느낌이라 그냥 웃김 ㅋㅋㅋㅋ
-
했다 에휴 한심하네
-
우린 젊기에 0
공부 따윈 내일해
-
ㄷㄷㄷㄷ
-
개 ㅂㅅ집합소네 진짜... 하 진짜 공부 ㅈ도 못하는 새끼들이 N수하겠다고 쳐 기어들어와서 지랄이야
-
재밌을거같음
-
06재수생도 team 06인가요?
-
곧있음 4만덕 1
ㅎ
-
심특 강좌 특징이 특이한 발상 또는 화려한 풀이가 아닌 철저하게 수험생의 시선에서...
-
ㅇㅇ? 이게 맞는건가 모르겠는데?
-
.
-
흠뇨냐이
-
한명은 되게 수학을 잘하는데 한명은 그냥 수학을 못하는느낌..? 난 잘하는쌤한테...
-
저 해는 빛을 내보내라는 명을 받았습니다 엌ㅋㅋㅋ
-
14번 도형 40분박고 안 풀려서 던짐 에휴
-
수학 굇수들이 7
왜이리 많어.. 나만 80점대임..
-
어쩌면 잘생긴 사람이 적으니 비정상이지 않을 까
-
21수능은 4
가형부심 부리면 안됨 ㅇㅇ
-
궁금해여
-
킬캠 1회 22번 풀 때 f(x)+x=t라 두고 f(x)+x와 g(x)가 역함수...
-
샤인미 어렵네 0
하루에 5+a시간만큼 하는데 3일동안 100문제 풀었다,,하이엔드 어캐하냐,,,
-
시절이 있었는데...
-
제발 금요일에 좀 끝내줬으면
-
아 머리 복잡해 0
머리가 좋았으면 선후관계 같은거 안 햇갈리나 뭐든 한 번 되면 쫙 몰리고 한 번 안되면 쭉 안되는듯
-
맛있다고 생각해요!…
-
신속하고 정확하게.. 이 말뿐만이 오답 후 생각나는 피드백 어떤 시험이 안그러겠냐만은..
-
오목 잘합니다 카카오 오목 한때 2X등 이었음 렌주룰로 해도 흑돌이 무조건 이기는...
-
설의가기 vs 7
이동욱으로 살기
-
미적러인데 시발점 2 끝나고 2권 같이 병행할려고 하는데 현우진 커리중에 제일 먼저 뭐할까?
화2러분!!! 반가워요 앞으로도 칼럼 기대할게요!
모름지기.. 과목명이 화2인 이유는… 원과목보다 시간을 2배 줄일 수 있기 때문(?)…
쭉 정독했습니다 (제가 상댓값 vs 정량값 / 분수 관찰 표현을 실제로 써서…)
전 간격 통일 후 연산이라고 부르는 내용인데 통하는 게 있네요 ㅎㅎ
(생1 해당 근수축 문항과 화2 모두 활용합니다!)
아무쪼록.. 좋아요 눌렀어요 종종 뵈어요/-/ (화2 칼럼러 귀해서 날뛰었네요…)
[화2러 인증]
https://www.youtube.com/live/edPw4Dhq-SU?si=He5YdE0-hYFgpQ54
감사합니다!