수열 준킬러 1분 안에 푸는 방법 (2)
과연 무조건 첫째항부터 나열하는 것이 항상 좋은 걸까요..?
또한 나열하면서도 시간과 과정을 조금이라도 단축시킬 수는 없을까요..?
등차수열이나 등비수열이 아닌 순수한 수열 문제에서,
모두가 알다시피 ‘일단 나열해놓고 보는 것’이 정말 중요합니다.
하지만, 문제의 방향성을 염두한 채로 나열하다보면 불필요한 시간을 훨씬 줄일 수 있습니다.
올해 6월 모의고사 15번입니다.
이 문제에서 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는 의 부호입니다.
따라서 우리는 이 부호가 어떻게 전개될지에 모든 초점을 맞춰 풀이를 진행해야합니다.
먼저 모든 상황에서
으로 여기까지는 케이스를 나눌 필요가 없어보입니다.
이제 여기서부터 케이스를 나누어야합니다.
이제 k=1부터 k를 1씩 올려가며
등의 부호에 따른 케이스를 나누어보아야합니다.
상당히 번거로운 과정이 될 것 같습니다.
그 전에 풀이를 단축시켜줄 수 있는 규칙성이 있는지 살펴보는 것이 좋을 것 같습니다.
먼저, 과연 모든 항들의 부호가 서로 독립적일까요..?
혹시나 에 숨겨진 규칙이 있는지 살펴봅시다.
위와 같이 식을 변형해보고, 이 세 가지만 놓고
각각의 경우에 어떻게 전개되는지 대략적으로만 살펴봅시다.
만약에 이라면
이므로 입니다.
즉, 음수항 다음 항이 양수항이라면 그 다음 항은 다시 음수항이 됩니다 ... ㄱ
또한,가 전부 음수라면
"어..? 그렇다면.?"
... 이를 통해, 음수항에서 양수항으로 바뀔 때까지
음수항(이후 첫 양수항도 포함)에서 각 항들끼리의 차이는 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있습니다 ... ㄴ
마지막으로, 만약 3~6번째 항에서 0이 하나라도 나온다면
이므로 더 살펴볼 필요가 없습니다
... ㄷ
우리는 ㄱ, ㄴ, ㄷ세 가지를 염두한 채로 최대한 빠르게 모든 경우들을 파악해볼겁니다.
k=1일 때,이므로
성립X (- + + -) (ㄱ 활용)
k=2일 때이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=3일 때, 이므로
성립O (- + - -)
k=4일 때, 이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=5일 때,이므로
성립O (- - + -) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=6일 때, 이므로
성립O (- - - +) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=7일 때, 이므로 성립X (- - - -) (ㄴ 활용)
k>7일때도 전부
(- - - -)일 것입니다.
따라서 가능한 k는 3, 5, 6 뿐입니다.
우리는 나열을 하면서도, 몇가지 규칙을 미리 염두해두어 케이스를 나열하는 시간을 줄이는데 성공했습니다.
한 문제만 더 살펴봅시다. 2023년도 수능 15번입니다.
이 문제에서는, 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는
이 3의 배수인지 아닌지의 여부입니다.
먼저, (가)를 보고
은 3의 배수가 아니기에
일 것이라고 먼저 확정해야합니다.
(나)를 본 뒤,
이미 모두가 알고 있는 ‘일단 넣고 보자’ 식으로
먼저 대입을 해봐야 합니다.
그러나, 만약을 시작으로 전개를 하려고 하면,
너무 많은 경우의 수가 나옵니다.
그래서 보통 해설을 보면 통상적으로부터 역추적하는 방법을 사용하곤 합니다.
그러나, 현장에서 이 문제를 직면했을 때 부터 역추적하는 것은 상당히 리스크가 있습니다.
어디까지 역추적해야 문제가 끝날지
해보기 전까지는 모르기 때문입니다.
(물론 결론적으로는 5번째 항까지만 살펴보아도 답이 나오도록 문제가 설계되었지만,
저의 경우 문제를 처음 현장에서 직면했을 때 역추적이 언제 끝날지 모르는 불확실성을 회피하고자 아래와 같은 방법을 사용했습니다.)
그렇다면 우리는 어디를 시작으로 전개해보아야 할까요?
모릅니다.
무슨 소리냐고요?
우리는 어느 항들이 3의 배수를 가지는지조차 모르고,
안다고 한들 그 항에 3분의 1을 곱했을 때 또 다시 3의 배수가 나올지 아닐지조차 모릅니다.
그래서 우리는,
3의 배수이면서, 1/3을 곱했을 때 더 이상 3의 배수가 아니게 되는 어떤 항을
k번째 항이라고 가정해놓고,
라고 설정한 뒤 거기서부터 나열해보는겁니다.
이렇게 설정해놓은 뒤 라고 하면, 문제없이 1~k번째 항은 자연수가 되므로 ‘모든 항이 자연수인가?’에 대해서도 걱정할 필요가 없습니다.
이제 에서부터 전개해보면
... 5항 주기로 반복됨을 알 수 있습니다.
이므로, 40이 1, 4, 5의 배수임을 고려해보면
또는
또는
을 만족할 것입니다.
k=4일 때,
그러므로
k=5일 때,
그러므로
k=6일 때,
그러므로
따라서의 최댓값과 최솟값의 합은 224입니다.
순수한 귀납적 추론을 요구하는 수열 문제에서
‘나열하면서 규칙 확인해보기’는 필수입니다.
그러나, 단순히 아무 생각없이 나열하는 것 보다는
상황에 따라 어떤 식으로 흘러갈지 대략적으로 추측해보고,
부호 / 3의 배수 여부 등 문제의 상황을 가르는 핵심 요소에 집중하여 이와 관련된 성질을 미리 파악하고
나열을 시작하면 훨씬 문제를 푸는 과정과 시간이 단축됩니다.
그렇다고 해서, 귀납적 추론을 요구하는 문제에서 ‘규칙을 반드시 찾고야 말겠어’라는 생각으로,
나열을 하지도 않은 채 모든 규칙을 찾아내려고 무모하게 시도하는 것은 오히려 시간 낭비일 수 있으므로
귀납적 추론을 베이스로 깔고 가되, 언제나 문제의 방향성을 염두해 둔 채로 수열 문제에 접근했으면 좋겠습니다.
현재 저희 Team BLANK의 기출문제집 제작이 70% 이상 완성되었습니다.
저희는 기출문제집은 엄밀한 논증 또는 해설지다운 해설보다,
직관을 사용하여 최대한 간결하고 깔끔하게 문제를 해결할 수 있는
해설을 여러분들께 제공합니다.
많은 관심 부탁드립니다 :)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
고1때 놀아서 곱셈공식을 자주 틀림....
-
인생 마지막 도전, 무휴학 반수 12학점 들으며 도전합니다. 목표는 온리 스카이입니다.
-
화작 확통 세지 사문 ~ ㄱㄱ
-
고대 협문다니다가 뒤늦게 수능에 미련이 남아 도전하는 삼반수생입니다.... 관악...
-
어떻게 지우는지 몰라서 글을 아예 삭제해버림 관심 고맙습니다
-
ㅅㅂ 과탐수업때 3연속 ㅈ같은 ‘만들기 수업’은 왜 처하는 건지 모르겠고 열심히...
-
내가 그리던 20대는 20살에 대학가서 21살에 교환학생가고 원하던 가방 원하는...
-
전적대 볼때마다 0
뭔가 가슴 한구석이 찡함 8번이나 불합격 받은 나를 구제해 준 유일한 곳이였고...
-
너무길다
-
대치 오르비독재 0
어떤가요 생활시간표랑ㅇ 차별점 궁금해요..
-
오늘따라 기분이 우울해서 어린친구들한테 관심받고싶네 내 사진만 하면 칙칙할테니 미녀...
-
잘된듯 만족중
-
읽긴 읽었는데 그냥 넘어가나요 아니면 처ㅂㆍ
-
웹소설 읽는데 6
한 500화까지 보니까 물림.. 아직 200편 남았는데
-
재 첫 메인은 1
한석원 머리모양이 3차함수같다는 머 그런..
-
누구저격하니까 7
좋아요20개씩박히던데
-
내 첫메인은 8
1분간 좋아요 ○○시 인증이었는데
-
한시간반 두시간만 하고 자자
-
직장 다니면서 한 2년간 공부하고 대학교 갈 생각임 여기도 혹시 저처럼 틀딱이신분 계신가요
-
정석민 노베 2
노베가 들어도 되는 거임? ebs는 정석민 듣는데 나머지도 해도 되는지 모르겠다...
-
기파급 특특 0
물리 기파급 상하 두권 다하면 특난도특강 안하고 바로 실전 300해도 되나요?...
-
라유가 좋아하는 게임 11
무슨 게임 게임스타트!
-
수학 1컷 간당간당 할 정도인 실력인데, 보통 상위권 n수생 분들은 수학 독학...
-
실수로 ㄲ치다가 ㅆ을 칠 수도 있음
-
진짜 자리도 좁고 너무 가까워서 안예민했던 성격이 예민해졌어요... 신경안쓰이던...
-
지금 가톨릭대인데 부산대나 홍대(홍대는 빡세긴한데)나 국민대로 반수할까 생각중인데...
-
화1 김준 듣고 있는데 너무 어려워요 필수이론 듣는데도 턱턱 막히는데 잠깐 드랍하고...
-
쪽지주세요 2
-
동생이 오르비 눈팅함 내 작은 안식처가 들킬거 같음
-
1위 시발 ㅋㅋㅋㅋ 느그들 꼬꼬마일 때 국회는 이랬다
-
벌금 과태료 등을 소득 연계로 해달라고
-
저 사수할거임 5
07 수고
-
ㄱㅁ하고싶다 6
후욱후욱
-
위험한 상상 23
저작권이 존재하지 않는 세상에서, 전국의 모든 실모들과 강사들의 자료, N제 중...
-
이상형 11
여자
-
브금만 들었는데 개웃기네ㅋㅋㅋㅋ
-
재밌는 겜 없나 16
도파민..
-
1557 8
근데 드레이븐?이 문제에요 이 와중에 진짜 예 타워? 안쪽 그래도 잭키러브?가...
-
아 삼수로 안 끝나겠네
-
언매 98 확통 96 영어 2 정법 99 사문 99 수학 98이상으로 올린다면...
-
엔제 질문 0
빅포텐 시즌2 난이도가 어느정도인가요? 4규보다 어려운가요?? 드릴5랑 비교했을때는...
-
강해린댄브 팜하니 푸른산호초 민지 무희 혜인 플라스틱러브
-
결국 못참고 이시간까지 영화까지 찾아서 다 봐버렸네요..ㅋ. 6.25배경으로 한...
-
오늘 수강신청 다 했는데 박종민t 김현우t 두쌤다 교재에 서바 다 있더라고요 두개...
-
대인라 5개 삼 2
아따 든든하다~
기출문제집 정말 기대가 되는군요
헉
8개년 평가원기출을 수록한다 하셨는데, 선별문제들인가요?
아님 8개년 평가원 준킬러,킬러를 다 포함하신 문제집인가요?
빨리 나왔으면..ㅠㅜ