이차곡선
이러한 식을 관찰해봅시다.
먼저 C=0일 때
주어진 식은 위와 같은 꼴로 정리할 수 있습니다.
이때 r>0이면 모순입니다.
r=0이면 점 (-p, -q)을 의미하고
r<0이면 경우의 수가 갈립니다.
x의 이차항 계수와 y의 이차항 계수가 일치하면
원의 방정식을 뜻합니다.
x의 이차항 계수와 y의 이차항 계수가 일치하지 않고
부호가 같으면 타원의 방정식을 뜻합니다.
x의 이차항 계수와 y의 이차항 계수가 일치하지 않고
부호가 다르면 쌍곡선의 방정식을 뜻합니다.
예를 들어 다음과 같습니다.
타원, 쌍곡선에 대한 성질은 '기하'에서 학습 가능하니
궁금하신 분들은 학습해보시면 좋겠습니다.
만약 x, y 각각의 이차항 중 하나가 존재하지 않으면
포물선의 방정식을 뜻합니다.
x^2 꼴이면 중학교 때부터 학습하는 이차함수이고
y^2 꼴이면 기하에서 학습하는 형태의 포물선입니다.
이제 이러한 도형들을
적당히 평행 이동, 대칭 이동, 회전 이동시키면
2024학년도 6월 미적분 29번에 주어졌던
타원과 같이 xy의 계수가 살아있는, 즉
C값이 0이 아닌 형태의 이차 곡선을 작성해볼 수 있습니다.
비슷한 방식으로 어릴 때 반비례 함수, 반비례 곡선으로 공부하고
수학(하)에서 유리함수라는 이름으로 공부하는 y=1/x 도
앞서 배운 형태의 방정식의 쌍곡선을 회전 이동한 곡선입니다.
원, 타원, 쌍곡선, 포물선 위의 점에서의
접선의 방정식을 작성해봅시다.
먼저 기울기가 m인 접선의 y절편을 구해봅시다.
계산을 편하게 하기 위해
중심이 원점인 타원의 방정식을 기준으로 작성했습니다.
중심이 원점이 아닌 경우엔 타원이 평행 이동 됨에 따라
접선도 평행 이동해주시면 되겠습니다.
장축의 길이와 단축의 길이가 일치하는 타원,
즉 원의 경우에는 위와 같이 조금 더 단순해집니다.
마찬가지로 계산을 편하기 위해 치역이 실수 전체의 집합인,
중심이 원점이고 초점이 x축 위에 있는
쌍곡선의 방정식을 기준으로 작성했습니다.
필요 시 평행, 대칭, 회전 이동 해주시면 되겠습니다.
포물선 위 점에서의 접선의 방정식도
같은 방식으로 유도해볼 수 있겠습니다.
편한 증명 방법은 미분을 공부한 후에
접선의 기울기를 구해 m을
접점의 좌표로 표현해주시면 되겠습니다.
마찬가지로 포물선의 꼭짓점, 나머지 이차곡선의 중심이
원점이 아닌 경우는 평행, 대칭, 회전 이동으로 생각하면 굿
p.s. 고1 수학 원의 방정식 복습하다가
이차 곡선을 소개하다 말아뒀길래
설명하려면 이렇게 한 번에 하는 것이 맞다... 싶어
작성해봤습니다. 학습에 도움이 되었으면 좋겠습니다!
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여기서는 좀 다르게 표현되겠네