[알쓸신수] 1. 각변환은 미분이다

알아도 쓸데없는 신기한 수능수학..이라는 거창한 제목으로 시작해본 칼럼이긴 한데, 사실상 수능수학이라는 틀은 형식적으로, 내신과 수능 공부하면서, 이런저런 생각해본 이런저런 것들 함께 공유해보려고 가져왔습니다 :)

현역 허수 찌끄레기가 썼습니다..! 만약 틀리면 "반박시 너말이 맞음"이라고 생각해주시면 되겠습니다. 물론 도움되는 의견이나 훈수는 환영이에요 :)

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일단 무엇보다 "저는 각변환을 잘 못합니다."

작년 이맘인가 수1 삼각함수 단원 개념을 처음 접하면서 각변환이 뭐 이렇고 저렇고 얼싸안고 고민해봐도 헷갈려 죽겟고 짝수면 안바뀌고 홀수면 바뀌고 평면을 그려놓고 예각으로... 를 하면서 수1에 대한 정이 떨어지기 시작했습니다..

그러던 도중 알게된, 지금도 실전에서 제가 쓰는 방법 중 하나인 "각변환은 미분이다"에 대해서 소개해보려고 합니다.

그 전에, 삼각함수의 두가지 미분은 알고가야 의미가 있는 정리니까, 혹시라도 모르신다면 아래 2가지만 알아주시면 됩니다! (설마 모르진 않겠지만.)

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Theorem. 각변환은 미분이다!

증명은 삼각함수의 덧셈정리로 해주시면 됩니다. 여기선 생략할게요!

물론, 당연하게도, 저기서 sin이 cos으로 바뀌어도 당 당 당연히 성립합니다 ! (알파 대신에 알파 +1/2파이 넣어주면 되게쬬?)

안와닿을 수도 있습니다. 바로 예시를 들어볼게요.

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[풀이] 자, 여기서 위의 "각변환은 미분이다!"를 이용하면, 괄호 내부에서는 1/2파이가 빼지면서, 함수는 한 번 미분이 될겁니다. 

sin의 도함수는 cos, cos의 도함수는 -sin임을 몰랐다면 조금 큰일이 날 수도 있습니다. 여기서, 위의 방법을 이용해서 한 번 더, 또 다시 한 번 더 미분을 때려서 원하는 각도를 만들어줄겁니다.

와우! 이러면 바로 답이 나오겠네요! 참쉽고 재밌네요 !

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[풀이] 

평가원 문제입니다. 누구나 "각을 통일해본다"라는 생각은 당연하게도 드셨을겁니다.

첫번째 방법은, 이차항안이 -3/4파이니까, 1차항 안에 딱 -1/4파이라고? 한 번 더 미분하면 -sin x-3/4파이로 바꿀 수 있겠네!를 생각해볼 수 있겠습니다! 그러면 코사인 제곱을 피타고라스 정리로 유도된 s^2+c^2=1 식을 가지고 사인에 대한 식으로 표현해주면 되겠쬬?

또 다른 방법은, 제곱식의 안에서 1/2파이를 더해줘서 각을 통일해주는 방법이 있습니다. 이 때는 삼각함수를 역으로 적분해주는 방향으로 가면 되겠죠? 코사인은 사인으로 바뀌면서 괄호 안에는 1/2파이가 더해지겠네요.

꼴로 바꿔서 각을 통일해줄 수도 있겠습니다.

나머지 계산은 이차함수와 삼각함수의 합성함수로 보고 최대최소를 범위에 따라 따져주시면 되니 생략하겠습니다.

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Comment.

얼싸탄코 예각 사분면이 편하시면 그걸 추천합니다. 수학적으로도 그게 더 의미있습니다. 

다만, 평소에 조금 훈련해놓으면, 기계적으로 시험장에서 머리속으로 미분미분미분 해서 수1 삼각함수는 모든 식을 정리할 수 있습니다. (물론 미적은 백번천번 덧셈정리입니다만).

하지만 최소한 저는 계산상에 있어서 많이 씁니당.