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책참 [1020565] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2024-01-10 03:51:28
조회수 4,446
3

복소수

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/00066530516

1, 2, 3, ... 이러한 수들은 자연수(Natural number)입니다.

1보다 1만큼 작은 수는 0입니다.

0보다 1만큼 작은 수는 -1이며

-1보다 1만큼 작은 수는 -2입니다.

이렇게 ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... 와 같은 수들은

정수(Integer)입니다.

그리고 두 정수 p, q를 활용하여

$XGZyYWN7cX17cH0=$

꼴로 나타내어지는 수는 유리수(Rational number)입니다.

이때 6/3=2와 같이 약분 시 정수가 되면 그것은 정수,

5/3와 같이 약분이 되지 않으면 그것은 정수가 아닌 유리수로

분류하곤 합니다.

그리고 루트2와 같이 q/p 꼴로 표현할 수 없는 수는

무리수(Irrational number)입니다.

$U3VwcG9zZSBcIHRoYXQgXCBcc3FydCAyPVxmcmFje3F9e3B9xBYgKHDsmYAgXCBx64qUIFwg7ISc66GcxAmVveu2hCBcIOu2iOqwgO2VnCDEFqCV7IiYKSAgXMdSMnA9ccQNMnBeMj1xXjLEDHDqsIDELTDsnbTFSoTri4zJPeydtOuvgMZlcF4yxySekOyXsOyImMRA65Sw65287ITEIsRYxyOnncY+6rOg5ACwXjLrj+QAoMYYxDjtmYDFIpjFbJzqs7HsneQA28gYyXhcxT/MV+QAslwg65CY66Ck66nEGHHQXnE9Mm7kATBuxlX2AN0pxCrmAQ0oMm4p5gEQPTRuxglcdGhlcmVmb3LkAZjEJDLHGeQAnJXERv8Aw+sAw+sBPPcAwnDwAMJwPTJt5ADCbf8Awlwg6re465+w642wxEc9Mm0s5AERPTJu5ACBxVzrAkbnAlIybn17Mm3kAlTtAKbGHW59e2197Jy87AJbxn7qsIDriqXwAfbrqqjsiJzGIuuwnOyDne2VmMhV5wJ5IOcCsZyg66as6QEB5QDOiOuLpC7Ffu8BdMY6xjnrrLTGOeQAsIukLg==$

유리수와 무리수를 통틀어 실수(Real number)라고 부릅니다.

그리고 이 실수에 제곱해서 -1이 되는 허수 단위(Imaginary unit)를 곱해

얻는 수를 허수(Imaginary number)라고 부릅니다.

그리고 실수와 허수의 합으로 이루어진 수를

복소수(Complex number)라고 합니다.

$eF4yKzE9MA==$

일반적으로 이 이차방정식의 해는 존재하지 않습니다.

하지만 해가 존재한다 가정하고 그것을 i라 정합시다.

$aV4yKzE9MA==$

이것이 허수 단위의 정의입니다.

$aV4yPS0xIFxcIFxzcXJ0e2leMn09xgstMX3FGHZlcnQgIFwgaSDHDc4gacwPIFwgb3LFB2k9LckY$

그럼 이와 같은 생각이 가능합니다.

그래서 i를 루트-1이라 하냐 -루트-1이라 하냐

이야기가 나올 수 있는데 어느 쪽으로 생각하든

i를 통한 연산에는 변화가 없습니다.

그래서 보통 i=루트-1로 편하게 생각합니다.

$YStiaSBcIFwgKGEsIFwgYuuKlCBcIOyLpOyImCk=$

허수는 bi 꼴입니다.

복소수는 a+bi 꼴입니다.

$Mys1aQ==$

이러한 복소수를 우리는 복소평면(Complex plane) 상에

나타낼 수 있습니다.

평소에 접하는 직교좌표계 (Cartesian coordinate) 에서

x축을 실수축, y축을 허수축이라 생각할 때

x좌표는 실수 부분 a를, y좌표는 허수 부분 b를 설정해

점 (3, 5)와 같이 나타내는 것입니다.

$KGEsIFwgYik9KHIgXGNvcyBcdGhldMUVciBcc2luxxEp$

후에 수학1 (2022 개정 교육과정부터는 대수) 에서 삼각함수를 배우거나

미적분 (고등학교 교육과정 밖) 에서 극 좌표계 (Polar coordinate) 를

배우시면 익숙해지실테지만 우리는 평면 상의 어떠한 점을

기준점으로부터의 거리와, 기준점과 점을 이은 선분이 기준선으로부터

시계반대방향으로 얼마나 회전하였는지를 기준으로

나타낼 수도 있습니다.

$KDMsIFwgNSk9XGxlZnQoXHNxcnR7M14yKzVeMn0gXHRpbWVzIFxmcmFjezN9e84ffcQ73DI10TIgXHJpZ2h0KQ==$

이런 식으로요!

$KHIsIFx0aGV0YSk9XGxlZnQoIFxzcXJ0e2FeMitiXjJ9LCBcIFxhcmN0YW4gXGZyYWN7YX17Yn0gXHJpZ2h0KQ==$

우선 여기까지만 알아봅시다.

$ej1hK2JpIFwgXCAoYSwgXCBi64qUIFwg7Iuk7IiYKSBcXCBcb3ZlcmxpbmV7en09YS1iaQ==$

어떤 복소수 z의 켤레복소수는 허수 부분의 부호만 반대로

해준 복소수입니다. 다항식의 연산 공부할 때

덧셈, 뺄셈은 동류항끼리 해주었듯이

복소수의 연산도 덧셈, 뺄셈은 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 해줍니다.

다항식의 연산 공부할 때 곱셈은 분배 법칙에 따라 해주었듯이

복소수의 연산도 곱셈은 분배 법칙에 따라 해줍니다.

(복소수에서도 교환, 결합, 분배법칙 성립합니다.)

무리수 배울 때 유리화 배웠듯이

복소수 배울 때도 유리화 합니다.

분모에 i가 보이면 합차 공식 적당히 집어넣어

보이지 않도록 해줍시다!

$XHNxcnR7YX0gXHRpbWVzIMYQYn0gPSBcYmVnaW57Y2FzZXN9xxlhYn0gXCBcIChhPjAsIFwgYj4wKSBcXMceLWFifcdIaccnPNcnyHDIKMdPPMYoLdBux0fEHyBcZW5k5wCW$

그리고 이러한 연산을 배우는데

$XHNxcnR7LTN9PcYKKC0xKSBcdGltZXMgM30gXFwgxxktMX3IGMURIDPFHWnNFcYUxwtp$

"루트 안에 음수 있으면 i 활용해 빼준다"만 기억하시면 됩니다.

$XHNxcnR7YX0gXGRpdiDGDmJ9ID0gXGJlZ2lue2Nhc2VzfccZXGZyYWN7YX17Yn19IFwgXCAoYT4wLCBcIGI+MCkgXFzNJy3IKHRpbWVzIGnHMTzNMS3PWS3TMsdjPNJj7QCKxFnGJiAgXGVuZOcAuw==$

마찬가지로 "루트 안에 음수 있으면 i로 빼준다"만 기억하시면 됩니다.

이제 문제 두 개 풀어보겠습니다.

쎈 고등 수학(상) 1판6쇄 II-03 C단계 355번 변형입니다.

$QS4gXCBcb3ZlcmxpbmV7el8xfSt6XzI9MCzEGCB6XzHEDi00IFxcIELELCjPLTIpzRIyxBI9NGnEMEPEMHpfMSvOMz4wxB1cxRteMi16XzJeMj0/$

z_1, z_2는 복소수입니다.

따라서 a+bi 꼴로 나타내어 봅시다.

$el8xPWErYmkgXCBcIChhLCBcIGLripQgXCDsi6TsiJgpIFxcIFxvdmVybGluZXt6XzF9PWEtxDBcIHpfMj1jK2THPGPEPGTdPDJ9PWMtZGk=$

조건이 여러 가지 주어졌을 때는 하나씩 접근합니다.

먼저 A 조건부터 살펴보겠습니다.

$XG92ZXJsaW5le3pfMX0rel8yPTAgXFwgKGEtYmkpKyhjK2RpKcgTK2MpKygtYitkKWnGE1xiZWdpbntjYXNlc30gYStjxhfEI8QKZW5kyBzELXRoZXJlZm9yZSBcIGM9LWEsIFwgZD1i$

미지수가 여러개일 때는 줄이는 것이 편합니다.

복잡한 세상 속 편하게 산다 생각하시면 됩니다.

$el8xPWErYmkgXFwgel8yPS3KDTHEECjEECkoxRcpxBg9LWFeMitiXjJpXjLJEC1ixA0gXCAoXGJlY2F1c2UgXCBpXjI9LTHHNTTEB1x0aGVyZWZvcsQfx0c9NA==$

따라서 A 조건으로부터는 다음의 정보들을 얻었습니다.

$XGJlZ2lue2Nhc2VzfSB6XzE9YStiaSBcXCB6XzI9LcgNYV4yK2JeMj00IFxlbmTHLw==$

이제 B 조건을 살펴봅시다.

$KFxvdmVybGluZXt6XzF9KzIpzRIyxBI9KGEtYmnEGy3HCSBcXCA9LWFeMisoxhFeMskTLWJeMis0LTRiaSBcIFwgKFxiZWNhdXNlIFwgaV4yPS0xxz7UIcRSYl4yPTTGJDRpxAdcdGhlcmVmb3LEImI9LTE=$

합차 공식으로 계산해주니 b=1입니다.

이때 a^2+b^2=4이므로 a=루트3 or a=-루트3입니다.

따라서 A, B 조건으로부터 다음의 정보를 얻었습니다.

$el8xPVxzcXJ0My1pIFwgXCBvcsUHxBgtxRkgxRrEEjLJEiDQLTLGRcQs$

이제 C 조건을 살펴봅시다.

$el8xK1xvdmVybGluZXt6XzF9PShhLWkpKyhhK2kpIFxcID0yYVxcID4wxAxcdGhlcmVmb3JlIFwgYT4w$

a가 양수이므로 a=루트3임을 알 수 있습니다.

따라서 A, B, C 조건을 모두 고려하면 다음을 얻습니다.

$el8xPVxzcXJ0IDMgLWkgXFwgel8yPS3FEzMtaQ==$

이제 답을 내어줍시다!

$el8xXjItel8yXjI9KHpfMSt6XzIpxAnEFCkgXFwgPShcc3FydCAzKy1pLcULMyAtaSnIFi1pLSjGFyDFGMY0LTJpIFx0aW1lcyAyyB3FGDTHDmk=$

답은 -4루트3 i 입니다.

다음 문제로 넘어가보도록 하겠습니다.

같은 문제집 361번 변형입니다.

$67O17IaM7IiYICBcIHjsl5AgXCDrjIDtlZjsl6wgXCDshLggXCDtlajEI1wgQSh4KSwgXCBCxwhDKHgp6rCAIFxcIOuLpOydjOqzvCBcIOqwmeydtMQ/oJXsnZjrkJjslsUPnojri6QuxC9cYmVnaW57Y2FzZXN9xVg9XGZyYWN7MStcc3FydDMgaX17Mn0geMQtxG/IHy3FHyDHIMUf5ACGyB99e3h9IFxlbmTIW+QAm7Cp5ACJi53lALJCKEEoxHApKSk9MeQAlZ3kANrtlbTrpeUAvLWs5AD+i5zsmKQu$

뭔가 비슷한 것들끼리 있거나 거대한 것이 있을 때에는

치환해주면 좋습니다. 다양한 문자가 있지만 저는

$WCwgXCBYXzLGBzPEBy4uLg==$

정도의 대문자 X를 좋아합니다.

실제로 2022학년도 6월 미적분 30번을 현장에서 풀 때

$XGJlZ2lue2Nhc2VzfSBcbG4gKDErZV57MiBcYWxwaGF9LWVeey0ydH0pPcYRICt0IFxczCpcYmV0yCjGDCA9IMUJICsgxS10PlxmcmFjezF9ezLGZTIsIFzHYiA8xy1cXCBmKHQpPVxzcXJ0MiAoxRYtxyYpIFxlbmTnAKg=$

alpha와 beta에 대해 정리해야할 식이 일치하기에

$XGJlZ2lue2Nhc2VzfSBcbG4gKCAxKyBlXnsyWH0tZV57LTJ0fSApPVgrdCBcXCBcZnJhY3syxh8gXHRpbWVzxxVkWH17ZHR9K8QdxDV9ezErzkd9Pc4qMcRSZih0KT1cc3FydDIgXGxlZnQozSUgXCBcdmVydCBcIF97WD1cYmV0YX0gIC3OddAmYWxwaGF9XHJpZ2h0KSBcZW5k5wDi$

X로 치환하여 해결했던 기억이 있습니다.

그럼 다시 문제로 돌아와서...

$67Cp7KCV7IudIFwgQyhYXzEpPTEgXCDsnZggXCDtlbTrpbwgXCDqtaztlZjsi5zsmKQu$

함수 C(x)=1/x를 살펴볼 때 1이 방정식 C(x)=1의 유일한 해이므로

$WF8xPTEgXFwgQihBKEEoeCkpKT0x$

식을 한 번 정리해냈습니다.

$67Cp7KCV7IudIFwgQihYXzIpPTFcIOydmCBcIO2VtOulvCBcIOq1rO2VmOyLnOyYpC4=$

다시 치환을 통해

$Qih4KT0xIFxcIFxmcmFjezEtXHNxcnQzIGl9ezJ9IHjGHHg9xh4yfcwhxBrIGSgxK8gYKX17KMomKSgxKyDFDSAzaSkg2zUxLTNpXjLMIcof5QCNXCBcIChcYmVjYXVzZSBcIGleMj0tMSk=$

식을 한 번 정리해내어줍니다.

$WF8yPVxmcmFjezErXHNxcnQzIGl9ezJ9IFxcIEEoQSh4KSnVIA==$

이제 마지막입니다.

$QShYXzMpPVxmcmFjezErXHNxcnQzIGl9ezJ9IFxcINUYWF8z2THEHDE=$

찐막~

$QSh4KT0xIFxcIFxmcmFjezErIFxzcXJ0MyBpIH17Mn14xh14PcYfMn3MIn3EG8gaKDEtxRggMyBpKX17KDEryCcpKDEtyTQp0DXLGnsxLTNpXjLMIsdVxG17xBkgXCAoXGJlY2F1c2UgXCBpXjI9LTEp$

따라서 방정식 C(B(A(A(x))))=1 의 해는 x=(1-루트3 i)/2임을

확인할 수 있었습니다.

p.s.

$KGEsIFwgYik9KHIgXGNvcyBcdGhldMUVciBcc2luxxEpIFxcID0+IFwgKHIsyBQ=$

아까 직교좌표, 극좌표, 복소평면 등에 대한 이야기를 했었는데

r을 복소수의 absolute value 혹은 modulus라고 합니다.

$ej1hK2JpIFxcIOuzteyGjO2PieuptCBcIOyDgeydmMQJoJAgXCAoYSwgXCBiKcQqXHZlcnQgXCB6XCDHDD1cc3FydHthXjIrYl4yfcQlPeybkOygkOyXkOyEnNFH6rmM7KeAxGEgXCDqsbDrpqw=$

대충 이런 느낌!

그리고 @를 복소수의 argument라고 합니다.

$XGFyZyh6KT1cdGhldGErMm4gXHBpIFwgXCAobuydgCBcIOygleyImCk=$

대충 이런 느낌입니다.

$ZV57aXh9PVxjb3MgeCtpIFxzaW4geCBcIFwgKHggXGluIFIp$

그리고 실수 x에 대한 항등식 Euler's formula도 알아두시면 좋습니다.

이를 이용하여

$ej1hK2JpIFxcIChhLCBcIGIpPShyIFxjb3MgXHRoZXTFFXIgXHNpbscRKSDELj0gXGxlZnQoXHNxcnR7YV4yK2JeMn0gXHRpbWVzIFxmcmFje2F9e84ffcRN3DJi0TIgXHJpZ2h0KSDFdno90D7mAIXXbyvYVmnJV+QAy1x2ZXJ0IFwgeuQAnsYM5gCVKOsBCCsgae4BBt06ZV57accqfcQqxANiZWdpbntjYXNlc33nAPB6fXvRQ309xD3LPCBcYXJnICh6KT3GNTF9e2nkAPpu3EXFctUCPS1p3z19xSgoXGJlY2F1c2UgXCBpXjI9LTEpIFxlbmTnAMI=$

복소수를 위와 같이 표현해볼 수도 있습니다.

p.s.2

자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수에서 더 나아가

사원수(Quaternion)를 정의할 수 있습니다.

$YStiaStjaitkayBcIFwgKGEsIFwgYsQFY8QFZOuKlCBcIOyLpOyImCk=$

이렇게 생겼습니다. 1, i, j, k는 4차원 벡터공간의 기저 벡터입니다.

$aV4yPWpeMj1rXjI9aWprPS0x$

이라는데 저도 잘 모르겠습니다. 4차원 얘기 나오는 것으로 보아

사원수가 우리가 공부하는 수학에서 등장하진 않을 것이고

순수 수학(Pure mathematics) 쪽에서 쓰일 것임을

짐작해볼 수 있습니다. 실제로 그러한 것으로 알고 있습니다.

$XG92ZXJyaWdodGFycm93e2F9PSh4XzEsIFwgecYHel8xKcQI0CpixSoyxirFB3pfMilc0ilhfSAgXHRpbWVz00QgPVxiZWdpbnt2bWF0cml4fSBpJmomayBcXCB4XzEmeV8xJnpfMcYPMiZ5XzImel8yICBcZW5kyjNcXCA9aSDQScs8yDjNNy1q0TPEc8tv0TMra9QyecoyedAyxBk9aSh5XzF6XzItel8xeV8yKS1q5AFkxxF4XzIpK2vEEXlfMi15xhHFN8g2eV8yeuYBjHjFCi3GPcYRxTZ4XzJ5XzEp$

왠지 외적에서 등장하는, 3차원 공간의 단위 벡터 i, j, k와도

연관이 있어 보이는데 이는 저도 잘 모르겠으니

더 공부해서 오겠습니다!!

2022 개정 교육과정으로 고1 수학에 행렬이 들어왔으니

2028 개정 교육과정 정도에는 외적, 공간벡터, 입실론-델타 논법,

다변수함수의 미적분 (편미분, 중적분) 도 기대할 수 있지 않을까요?

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또도도도..토리 · 1231036 · 01/10 03:59 · MS 2023

선샌님..어지러워요멋있어요

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책참 · 1020565 · 01/10 04:04 · MS 2020

예비고1 과외 하게 되어서 수학(상) 복습 중에 있습니다,, 제곱근 연산 부분에 부호 오류 있어서 얼른 수정했네요! 시간이 늦었는데 좋은 밤 보내시기 바랍니다.

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또도도도..토리 · 1231036 · 01/10 04:05 · MS 2023

어우 샘 멋있어요 과외준비 아주 철저하시고 번창하십시오 ㅎㅎ

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