극좌표(polar coordinate)를 이용한 치환적분

2차원에서 어떠한 점의 위치를 설명하려면

어떻게 해야할까요?

적당한 기준을 세운다면 우리는

점의 위치를 설명할 수 있을지 모릅니다.

대표적인 방법이 데카르트 좌표계, 바로

우리가 흔히 접하는 직교 좌표계입니다.

원점과 x축, y축을 설정함으로써 우리는

그림 상의 점 A, B와 같이 특정한 점의 위치를

깔끔하게 설명해낼 수 있습니다.

그런데 직교 좌표계 외에도 이렇게

기준을 잡아 평면 상의 점의 위치를 기술할 수 있는

대표적인 방법이 하나 더 있습니다.

바로 극 좌표계입니다.

원점을 O라 할 때 각 AOD의 크기를 alpha,

각 AOB의 크기를 beta라 한다면 우리는

방금 봤던 두 점 A, B의 좌표를 각각

다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

r은 원점으로부터 각 점까지의 거리를, 

@는 시초선으로부터 동경까지 시계반대방향으로

잰 각의 크기를 뜻합니다.

이 r과 @값에 초점을 두고 다시 직교 좌표계에서

점을 나타내어 보면

이렇게 나타낼 수 있을 것임을

생각할 수 있습니다.

즉, 반지름의 길이가 r인 원 위의 점으로

주어진 점을 바라보고 일반각 하나를 잡아 

직교 좌표계의 점을 생각해볼 수 있다는 것이죠!

극 좌표계를 이용하면 2변수 함수의 적분을

다음과 같이 작성할 수 있습니다.

이제 1변수 함수를 다룰 때의 치환적분법을 다음과 같이 생각해보고

아직 제가 서술하기엔 어려운

transformation from the uv-plane (polar coordinate)

to xy-plane (Cartesian coordinate) 와

the Jacobian of the given transformation 에 관한

이해를 갖추면

극 좌표계를 이용한 치환적분을

일반화할 수 있습니다!

이제 이를 이용해 확률과통계에서 학습하는

정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수를

적분해봅시다!

이를 표준정규분포 N(0, 1^2)을 따르도록 해주면

확률밀도함수 g(x)를 얻을 수 있습니다.

현 교육과정 상 확통에서 표준정규분포를 따르는 연속확률변수의

확률밀도함수에 관한 위 성질은 배우는데 증명을 하지 않아

앞서 다루었던 다변수 함수에서의 치환적분을

적용해 해결해보고자 한다면

영상 속 과정을 따라 I값을 구한 후 

루트 pi로 나누어주시면 됩니다.

현재 2022 개정 교육과정 상 공통수학2에 

선형대수학의 기초인 행렬이 들어왔으니

2028 개정 교육과정 즈음엔 극 좌표계와

복소 평면도 들어와 학생들께서

2차원 평면에 대한 보다 다각적인 이해와

나아가 치환적분의 느낌을 다변수 함수에도 

적용해보실 수 있을 그러한 기회가 있었으면 좋겠습니다!!