0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
주식에 거금 100만원넣어도 운좋게 2배가 띄워도 겨우얻는건 100만원 근데...
-
제 성적으로 상향으로 지를만한 학교인가요?
-
뭔가 반수 결정했으면 저런거 가면 안될거 같은데 다들 어케하심?
-
1순위 2순위 싹다 내란공범이라서 짤릴 가능성이 높다네요 ㅋㅋ
-
쇼츠로 요즘 뜨던데 20년전거인데도 개꿀잼이네 몰아보는중
-
서성한 성적 받고 홍대 문과로 수시 납치 당한 사람인데요.. 반수가 정말 당연한...
-
어디가 더 좋음?
-
요즘은 전전 컴공 나와도 최소 석사는 다들 밟는 분위기입니다 학사취업은 그냥 과...
-
원래 6시간은 채워야 일어나지는데 주말엔 더자고 싶은데도 눈떠져서 5시간정도밖에...
-
-
10명뽑는지역인재약대논술인데 1명이빠질확률이있을지
-
솔직히 목소리바꾼다해도 말투때매 어느정도 티날수밖에 없는데 유명한만 연기하는것도...
-
1칸 2칸 스나 합격하기
-
고시류 빼면 취업은 어떻게함??
-
국민대vs세종대 1
제가 3년동안 진로는 생명으로 잡긴 했는데 부모님은 국민대를 원하시네요 어디가 좋을까요
-
생지예요!
-
그게 나이지나… 난 오히려 겉껍질만 이성이 되었지 진짜로 완전한 이성이 된 게...
-
동국대도 같이 붙으신분 있으신가여?
-
제가 좋아하는 드라마에서 이런 대사가 나와요 가끔, 아주 가끔 마시지 않았는데도...
-
하 ㅅㅈ 2
나 월요일 시험인데 내일하루종일(이제오눌) 공부해야하는데 아직도 안쳐잠 며칠째이미...
-
인강 볼 때 0
이전까진 인강이라고는 실모 해설강의만 봤어서 커리는 처음 타보는데 보통 어떻게 강의...
-
저는 잠에 들면 자요
-
오늘 눈온다내 7
전 눈이 좋아요
-
이제 자러감요 3
ㅂㅂ
-
새벽에 심심해서 쓰는 시대인재 8기 후기&TIP(1) 8
일단 이번 글에서는 강사 라인업 위주로 적어봄 [목동 본관 S반] 별점은...
-
뭔가 기절할것같다 피곤하진 않은데 멍하니 있다가 정신 잃을 것 같음
-
이제 머하지 2시간반동안
-
ㅈㄱㄴ
-
다 어디갓니
-
고대기준 상경 비상경 아웃풋 차이 큼?
-
업뎃을 몇번을 하는 동안 퍼센트 변화가 없네
-
보통 경로가 어떻게 되는지 알 수 있을까요....
-
자야지슬슬 3
오늘도한게아무것도없어요~
-
기차지나간당 10
부지런행
-
침대로 저엄프 18
슛
-
빨리 골라주세요 11
-
지금입니다
-
공부 끝 14
잠 잘 시간 모두 굿밤
-
자취할까 고민중인데 밥이 문제네,,
-
안자는 부엉이들 10
저이제 현역인데 조언해주세요 안자는분들
-
앞에 놀거리 많나요?
-
나는 매일 저녁에 2-3시간 자서 잠을 못 자는건데 다른 사람들은 우예 아직 깨어있지
-
BB기원 5
BBBBBB
-
우리 동네에선 문과=공부 버린 애들인데
-
그게 2개월 후니 고민되네
-
모든 인강강사 통틀어서 이사람보다 말 잘하는 사람 없는거같음
-
그분들이 제일 좋아하는 주제니 무조건 나올듯
-
맞팔 구합니다 12
내년도 함께하실 오르비언 구합니다
-
마지막 수능입니다.
-
새벽에 혼술하고 4
담배피다가 자는거좀 그만해야하는데 종강이라 너무 방탕하게 삶 하지만 너무행복함 살만 뒤룩뒤룩
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
응꼴잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
결론부 마음에 듭니다 ♡무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿