통계질문 능력자 답변좀 부탁해요

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신뢰구간의 길이를 구할때

모평균 m은 표본평균 +- 신뢰계수*루트엔분의 시그마 입니다.

문제1) N(100,5^2)을 따르는 모집단에서 크기가 50인 표본을 추출했을때

신뢰구간을 구하여라

문제2) 모집단에서 크기가 50인 표본을 추출하였을때 N(100,5^2)이 된다고 한다.

신뢰구간을 구하여라.

문제1과 문제2의 답은 똑같습니다.

하지만 제가 생각하기에 원래 공식에서 루트n분의 시그마가 나타내는것이

표본의 표준편차이므로 문제 2번을 구할때는 달라져야하는데 그렇지가 않네요.

개념원리 책에서는 표본의 크기가 충분히 크면 이를 모집단의 표준편차로 봐도 무방하다

적혀있긴 하지만 와닿지가 않습니다.

고수분이 설명해주실수있으면 좋겠네요.

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케미제이 · 407390 · 15/06/26 18:29

네 n이 충분이 크면 표본표준편차 s가 모표준편차 시그마가 되요 고교과정내에서는 증명못해요.

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인디고잉 · 532392 · 15/06/26 18:37 · MS 2014

뭔가 개념상의 오류가 나신것같은데
님 말을 잘 생각해보니까 님은
문제 1은 추출한 50개의 표본 내에서의 분포로 해석하신것같고
문제2는 표본평균들의 분포로 해석하신것같네요

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인디고잉 · 532392 · 15/06/26 18:39 · MS 2014

그리고 표본평균의 분산은 표본개수가 많아질수록 모평균에 밀집한 분포를 보이므로 분산은 작아지겟죠 루트n분의 시그마가 그말임
n(표본개수)가 커질수록 분모가 커지니까 분산은 작아질수밖에없죠
표본의 크기가 클때 시그마를 s로 대체하는건 t분포랑 자유도에 관한 이야기인데 이건 교과과정 외이므로 그냥 저 말만 이해하시면 될듯

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인디고잉 · 532392 · 15/06/26 18:39 · MS 2014

그리고 표본평균의 분산은 표본개수가 많아질수록 모평균에 밀집한 분포를 보이므로 분산은 작아지겟죠 루트n분의 시그마가 그말임
n(표본개수)가 커질수록 분모가 커지니까 분산은 작아질수밖에없죠
표본의 크기가 클때 시그마를 s로 대체하는건 t분포랑 자유도에 관한 이야기인데 이건 교과과정 외이므로 그냥 저 말만 이해하시면 될듯

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인디고잉 · 532392 · 15/06/26 18:39 · MS 2014

그리고 표본평균의 분산은 표본개수가 많아질수록 모평균에 밀집한 분포를 보이므로 분산은 작아지겟죠 루트n분의 시그마가 그말임
n(표본개수)가 커질수록 분모가 커지니까 분산은 작아질수밖에없죠
표본의 크기가 클때 시그마를 s로 대체하는건 t분포랑 자유도에 관한 이야기인데 이건 교과과정 외이므로 그냥 저 말만 이해하시면 될듯

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인디고잉 · 532392 · 15/06/26 18:39 · MS 2014

그리고 표본평균의 분산은 표본개수가 많아질수록 모평균에 밀집한 분포를 보이므로 분산은 작아지겟죠 루트n분의 시그마가 그말임
n(표본개수)가 커질수록 분모가 커지니까 분산은 작아질수밖에없죠
표본의 크기가 클때 시그마를 s로 대체하는건 t분포랑 자유도에 관한 이야기인데 이건 교과과정 외이므로 그냥 저 말만 이해하시면 될듯

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_추적자_ · 528884 · 15/06/26 19:55 · MS 2014

네 답변에 감사합니다. 인디고잉님. t분포와 자유도에 대해 조금더 말씀해주실수 있으신가요?

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인디고잉 · 532392 · 15/06/27 00:25 · MS 2014

아 죄송합니다 생각해 보니 t분포는 적합한 설명이 아닌것같네요
그니까 모표준편차는 편차의 제곱합을 n으로 나눠주고 표본표준편차는 편차의 제곱합을 n-1로 나눠주는데 n이 충분히 커지면 n과 n-1사이에 큰 차이가 나지 않기 때문에 대체가능한것같습니다

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박수칠 · 423466 · 15/06/27 00:55 · MS 2012

in3131님은 표본의 평균, 분산, 표준편차(표본평균, 표본분산, 표본표준편차)와
표본평균의 평균, 분산, 표준편차의 의미가 명확하게 정리되지 않은 것 같습니다.

예를 들어 어떤 고등학교 3학년(10개 학급) 학생들의 키를 조사한다고 합시다.
여기서 3학년 1반을 하나의 표본으로 삼으면 이 반 학생들 키의 평균, 분산, 표준편차가
표본평균, 표본분산, 표본표준편차입니다.

다음으로 3학년 1반의 표본평균이 bar X₁, 2반의 표본평균이 bar X₂, …, 10반의 표본평균이
bar X₁₀이라면 X₁, X₂, …, X₁₀에 대한 평균, 분산, 표준편차를 구할 수 있습니다.
이것이 표본평균의 평균, 분산, 표준편차죠.

또한 표본평균 X₁, X₂, …, X₁₀의 평균은 모평균(3학년 전체의 평균)과 같고,
분산은 모분산(3학년 전체의 분산)을 표본의 크기 n으로 나눈 것과 같습니다.

그리고 한 반에 속하는 학생들이 충분히 많다면
한 반의 표준편차와 3학년 전체의 표준편차는 비슷해집니다.
이것이 표본의 크기가 충분히 클 때, (표본표준편차)를 (모표준편차)로 봐도
무방하다는 말과 연결되는 것이죠.

<문제1의 경우>
모집단이 N(100, 5^2)을 따르고, 표본의 크기가 50이므로
표본평균의 분포는 N(100, 1/2)을 따릅니다.

신뢰구간의 sigma / √n 은 표본평균의 표준편차이므로
이 문제에서는 1 / √2이 됩니다.

그런데 문제에서 모평균이 이미 주어져 있기 때문에 신뢰구간을 구하는 의미가 없습니다.
구하려고 해도 추출된 표본에 대한 표본평균이 없구요...

<문제2의 경우>
표현이 애매한데 하나의 표본에 포함된 변량들이 N(100, 5^2)을 따른다고 생각합시다.
그러면 표본의 크기가 충분히 크므로 (모표준편차)=(표본표준편차)=5로 볼 수 있습니다.
따라서 모집단의 분포는 N(?, 5^2)을 따르고, 표본평균의 분포는 N(?, 1/2)을 따릅니다.

신뢰구간의 sigma / √n 은 표본평균의 표준편차이므로
이 문제에서도 1 / √2이 됩니다.

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