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환상동화 [925060] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2022-12-03 11:46:21
조회수 8,953

[정시 용어의 이해] 3편 : 표준점수 증발/점프 현상

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/00059992389

안녕하세요 크럭스(Crux)팀의 환상동화입니다.

이번 편에서는 여러분들에게 생소할 수도 있는 주제인데요, '표준점수 증발과 점프'입니다.

들어본 것 같긴 했는데 정확히 뭔지는 모르겠다는 분들도 계실거고, 아예 처음 들어봤다 하시는 분들도 계실겁니다. 

그게 무엇인지 오늘 정확하게 설명해드리도록 하겠습니다.


저번 편 링크입니다.

[1편] 표준점수 기본 : https://orbi.kr/00059924973

[2편] 표준점수와 등급컷 : https://orbi.kr/00059952153

1편은 꼭 읽고 와주시고, 2편은 첫 번째 파트인 '등급컷 결정 방법' 정도만 읽고 오시면 될 것 같습니다. 


2편 내용이 좀 장황하고 어려웠던 것 같아서 3편 내용은 쉽고 깔끔하게 작성하려고 노력했습니다. 잘 읽어주시기 바랍니다~



Ⅰ.표준점수 증발이란?


* 특별히 '국어/수학'이라고 언급되어있지 않으면 무조건 (사회/과학/직업)탐구를 기준으로 설명합니다.

탐구 기준으로 설명해야 여러분들이 이해하시기가 더 쉽기 때문입니다.




표준점수 증발이란 "1점 차이인 두 원점수의 표준점수가 똑같은 현상"을 말합니다.

표준점수 증발이 일어나는 이유는 2편에서 잠깐 언급한 바 있습니다.


예를 들어, 표준점수 함수가 S = 0.76x + 30이라고 할 때,

원점수와 표준점수의 관계를 표로 나타내면 다음과 같습니다.


저번 편에서 43점과 44점의 표준점수가 똑같음을 지적하며 그 이유를 설명했습니다.

44점의 표준점수를 계산하면 0.76×44 + 30 = 63.44

43점의 표준점수를 계산하면 0.76×43 + 30 = 62.68

인데, 표준점수는 마지막에 소수점 아래 첫째자리에서 반올림해야 합니다.

반올림을 하면 결과적으로 표준점수가 63점으로 똑같아집니다.

이를 43점과 44점 사이에 표준점수 증발이 일어났다고 합니다.


47점과 48점도 직접 계산해보시면 같은 이유로 표준점수 증발이 일어남을 알 수 있습니다.



표준점수 증발이 일어나기 위한 조건은

탐구 표준점수 함수 

에서 a가 1보다 작아야 한다는 것입니다.

그래야 반올림을 할 때 같아지는 경우가 생기니까요.


그런데 "a가 도대체 뭔데 그러냐" 하시는 분들을 위해, 5편에서 설명할 내용을 잠시만 미리 끌어오겠습니다.




탐구에서

이므로 a가 1보다 작기 위해서는 표준편차가 10보다 커야합니다.



결국 표준점수 증발이 일어나기 위해서는 표준편차가 10보다 커야한다는 결론이 나옵니다.



Ⅱ.표준점수 증발의 효과



표준점수 증발이 일어나게 되는 경우, 크게 다음 두 가지 효과가 발생합니다.

(1) 동점화 

(2) 원점수 등급컷 1점 하락 


이 두 가지 효과를 실제 통계표를 통해 구체적으로 알아보겠습니다.



(1) 동점화



올해 6월 모의평가 생활과 윤리 통계표입니다.

통계표를 보시면 47점과 48점 사이에 표준점수 증발이 일어났다는 사실을 알 수 있습니다. 

표준점수가 64점으로 같은가 봅니다.


그런데 여러분들이 주목하셔야 할 것은, 표준점수 뿐만 아니라 백분위, 등급까지도 똑같다는 사실입니다.

표준점수가 똑같으면 아예 동점으로 취급하겠다는거죠.


이렇게 되면 47점과 48점의 원점수 1점 차이는 완전히 의미를 잃게됩니다. 

정시 원서 접수를 할 때, 대학에 전달되는 정보는 [선택한 과목, 표준점수, 백분위, 등급]이고 원점수는 없습니다.

따라서 대학 입장에서는 원점수가 47점이든 48점이든 똑같이 [생활과 윤리, 표준점수 64점, 백분위 93, 등급 1]이라고 적혀 있을 것이고 원점수는 알 수 없기 때문에 둘을 똑같은 점수로 볼 수밖에 없다는 것입니다.


그렇다면 이 경우는 47점은 이득을 보고 48점은 억울한 경우가 되겠네요.


따라서 동점화가 의미하는 바는 다음과 같습니다.

"표준점수가 같으면 원점수 상으로 차이가 있어도 동점이다."


표를 다시 한 번 보시면, 인원도 47점과 48점 인원이 아예 합쳐져서 나왔습니다.

어차피 똑같은 점수니까 굳이 구분짓는게 무의미하다는거죠. 

실제로 저 통계표 만드는 사람이 전데요, 제가 고의적으로 합쳐놓은건 아닙니다.





이게 평가원에서 제공하는 채점결과 자료인데, 여기에서부터 이미 47점과 48점 인원을 뭉뚱그려서 나타냈습니다.

결국 47점과 48점이 따로따로 몇 명이었는지는 저도 알 수 없고 오직 평가원 관계자만이 알 수 있습니다.






(2) 원점수 등급컷 1점 하락


솔깃하지 않나요? 원점수 등급컷 1점 하락이라니

어떻게 하락시키는지 한 번 살펴보겠습니다.



아까 썼던 통계표를 그대로 가져왔습니다.

많고 많은 통계표 중에 6모 생윤 통계표를 가져온 이유가 있는데, 바로 이 '원점수 등급컷 1점 하락'을 설명하는데 최적이기 때문입니다.

표에서 만점자 비율을 한 번 봐주시겠습니까? 얼마라고 되어있나요?


무려 3.98%입니다. 0.02%만 더 있었으면 1등급컷이 50점으로 될 뻔했네요.

어쨌든 4%를 못 넘었으니 50점은 1등급컷이 아닙니다.

그러면 당연히 48점이 1등급컷이겠죠? 설마 48점에 0.02%도 없을까요?

.

.

.

라고 생각했는데! 표를 보시면 1등급컷이 47점입니다. 눈 씻고 다시 봐도 47점입니다. 이게 어떻게 된걸까요?

이것은 바로 앞에서 설명한 동점화랑 관련이 있습니다.


48점과 47점 사이에서 표준점수 증발이 일어났기 때문에 48점과 47점은 동점입니다.

48점과 47점이 동점인데 48점은 1등급이고 47점은 2등급이다? 이건 말이 안 되는거죠. 등급이 다른데 어떻게 동점입니까.

정리하자면 50점은 1등급컷이 아니고, 48점과 47점은 동점이기 때문에, 최종 1등급컷은 47점이 되는 것입니다.


만약에 47점과 48점 사이에서 표준점수 증발이 안 일어났다면 어떻게 됐을까요?

그랬으면 당연히 48점이 1등급컷이었을겁니다. 표에는 47점과 48점 인원이 합쳐진 채로 나와서 각각의 비율을 알 수 없지만, 적어도 5.89% 중에 48점 비율이 0.02%도 안 될 리가 없다는 사실은 여러분들도 동의하실겁니다.

따라서 이것은 순전히 표준점수 증발에 의해 원점수 등급컷이 1점 하락한 것으로 보는게 맞습니다.


제가 2편에서 '주의' 표시까지 달아놓고 설명한 내용 있었죠?


이제야 이 말이 이해가 되셨을지 모르겠습니다.

만약에 등급컷을 원점수로 따졌다면 무조건 48점이 1등급컷이 되어야 하지만, 실제로는 표준점수로 따지기 때문에 1점 하락이 가능했던 것입니다.

여러분들 보기 좋으라고 입시 업체에서 원점수 등급컷으로 바꿔주는 것 뿐이지, 본질적으로는 탐구 등급컷도 무조건 표준점수가 기준입니다.







그러면 이쯤에서 여러분들이 궁금해 하실만한게 하나 있습니다.

"아직 수능 성적이 안 나왔는데, 제 점수에서 표준점수 증발이 일어날까요?"

이에 대한 답변은 알 수 없다입니다.

표준점수 증발은 소수점 아래가 0.5보다 크냐 작냐에 의해 결정되는건데, 누가 어떻게 표준점수의 소수점 아래를 예측할 수 있겠습니까. 소수점 위도 틀리는 마당에


다만 이 정도는 말씀드릴 수 있겠습니다.

표준편차가 크면 표준점수 증발 발생 빈도가 높아서 본인의 점수에 표준점수 증발이 일어날 확률이 높고,

표준편차가 작으면 표준점수 증발 발생 빈도가 낮아서 본인의 점수에 표준점수 증발이 일어날 확률이 낮습니다.


물론 대전제는 '표준편차가 10보다는 크다'입니다. 표준편차가 10보다 작으면 다음 파트에서 설명할 현상이 일어납니다.



Ⅲ. 표준점수 점프


표준점수 점프는 표준점수 증발과 반대의 개념입니다.

그래서 표준점수 증발은 표준편차가 10보다 커야(a < 1이어야) 일어나는 현상이었는데, 표준점수 점프는 표준편차가 10보다 작아야(a > 1이어야)일어나는 현상입니다.

(딱 10이면 증발과 점프 둘 다 일어나지 않습니다. 사실 딱 10이 아니어도 되고, 10에 매우 가깝기만 해도 증발이나 점프가 모두 안 일어날 수 있습니다.)


사실 수능을 보면 대부분의 과목에서 표준점수 증발이 일어나지, 표준점수 점프가 일어나는 경우는 잘 없습니다.

그래서 저도 이건 그냥 간단하게 설명하고 넘어가도록 하겠습니다.





표준편차가 10보다 작으면 위 표준점수 함수처럼 x의 계수가 1보다 커지기 때문에 표준점수 점프가 발생합니다. 

표준점수 점프를 설명하기 위해서 예로 들어볼 수 있는건... 45점과 44점이 있겠네요!

45점과 44점의 표준점수를 한 번 계산해보겠습니다.


45점의 표준점수를 계산하면 1.1×45 + 18 = 67.5 → 반올림 시 68

44점의 표준점수를 계산하면 1.1×44 + 18 = 66.4 → 반올림 시 66


분명히 원점수는 1점 차이인데, 표준점수는 2점 차이가 납니다. 

중간에 67점을 건너뛰었죠. 이것을 44점과 45점 사이에서 표준점수 점프가 일어났다고 합니다.


표준점수 점프가 일어날 경우, 모든 원점수의 표준점수가 각자 다 다르기 때문에 동점화가 일어나지 않습니다. 그리고 원점수 격차에 비해 표준점수 격차가 커지게 되므로 고득점자에게는 상당한 이득이 되고, 저득점자에게는 상당한 손해가 됩니다.

추가로, "표준점수 증발이 일어나면 원점수 등급컷이 1점 하락할 수 있다고 했는데, 반대로 표준점수 점프가 일어나면 원점수 등급컷이 1점 상승할 수 있는건가요?" 라고 물어보신다면 아닙니다.

표준점수 점프는 원점수 등급컷을 상승시키지도, 하락시키지도 않습니다.




표준점수 증발과 점프의 정의를 다시 한 번 정리해드리자면 다음과 같습니다.

표준점수 증발 (표준편차가 10보다 클 때) : 원점수는 1점 차이인데 표준점수는 같은 현상

표준점수 점프 (표준편차가 10보다 작을 때) : 원점수는 1점 차이인데 표준점수는 2점 차이인 현상



Ⅳ. 국어/수학에서의 표준점수 증발 및 점프


여기는 정말 초간단하게 설명하고 끝내겠습니다.


S는 표준점수, x는 공통문항 원점수, y는 선택문항 원점수입니다.


국어/수학의 표준점수 함수에서는 독립변수가 두 개잖아요?

그래서 a와 b의 범위에 따라 표준점수 증발 및 점프 여부가 달라지는데, 간단히 정리해보겠습니다.


① a < 1일 때 : 공통문항 원점수에 대하여 표준점수 증발이 일어난다.

② a > 1일 때 : 공통문항 원점수에 대하여 표준점수 점프가 일어난다.

③ b < 1일 때 : 선택문항 원점수에 대하여 표준점수 증발이 일어난다.

④ b > 1일 때 : 선택문항 원점수에 대하여 표준점수 점프가 일어난다.


대표적으로 하나만 자세히 설명하자면

①이 의미하는 것은 선택문항 원점수가 같을 때(전제), 공통문항 원점수가 1점 차이나도 표준점수가 같은 경우가 있다는 의미입니다.


④는 이론적으로 가능하긴 하나, 작년 올해 통틀어서 일어난 적이 없었습니다.


참고로 

표준편차가 10보다 크면 증발, 10보다 작으면 점프라는 기준은 탐구만 해당됩니다. 

국어/수학은 다른 기준이 있는데, 너무너무 복잡하니까 굳이 설명하지 않는걸로 할게요.



4편에서 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.


[4편] 백분위 계산법

[5편] (심화) 표준점수 함수의 형성 원리 (탐구)

[6편] (심화) 표준점수 함수의 형성 원리 (국어·수학)




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