[칼럼] 도형에 대한 기본적인 생각
안녕하세요.
오늘은 수학 칼럼입니다. 주로 2~3등급 이하 학생 분들이 보셨으면 좋겠습니다.
상위권 분들은 도형에 약하시다면 가볍게 봐주세요..!
도형에 대해 떠오르는 것이 있어 간단하게만 정리해보려 합니다.
도형 문제는 어느 정도 풀이가 정해진 측면이 있습니다.
물론 수학을 잘 하시는 분은 워낙 많고, 간결한 풀이와 정말 기발한 풀이가 넘쳐 나지만
그럼에도 일반적인 관점에서 도형은 해야 할 것들이 고정되어 있는 편입니다.
다시 말해 2~3등급 분들이 지금 당장
수학 칼럼을 쓰시는 독존님이나 악어새님 등등..처럼 될 수는 없어도
저만큼은 하실 수 있을 겁니다.
전 문과거든요
도형 문제 학습에 있어서 가장 큰 애로 사항은,
"답지를 보면 알겠는데 어떻게 떠올려야 하지?"가 아닐까 싶습니다.
더군다나 답지를 본다고 실력이 확실히 느는 것도 아니고..
누군가 '이유'를 설명해줬으면 했습니다.
1. 삼각함수 값 하나를 준다면, 그건 모든 정보를 제시한 것이다.
제가 좀 헤매던 부분 중 하나입니다.
sin법칙과 cos법칙을 따로따로 물어보면
외접원 주니까 sin, 세 변 or 두 변과 끼인 각 주니까 cos
이런 식으로 쉽게 처리할 수 있었습니다. 이게 딱 쉬운 삼각함수 3점 문제겠죠.
그런데 조금만 어려워져도, 여기서는 sin, 저기서는 cos, 썼다가 안 썼다가 뭐 어쩌라는 건지 알 수가 없었습니다.
그런데 알면서도 활용하지 못했던 것이 있었다는 걸 어느 순간에 알게 되었죠.
하나의 삼각함수 값만 줘도, 적어도 삼각형 안에서는 모든 삼각함수 값을 다 준 것이나 다름 없습니다.
sin값을 줘도 cos값을 구할 수 있고, 그 반대도 마찬가지이죠.
그러니까
"sin값을 제시했지만 cos법칙을 활용하려면 값을 이리저리 바꿔야 한다!" 이게 아니고
애초부터 삼각함수 값은 다 주어져 있었다는 겁니다.
문제로 보겠습니다.
여기서는 sin BCD만 주었지만, 사실상 cos값도 같이 준 것이겠죠.
정말 당연한 이야기인데, 이걸 의도적으로 생각하고 풀면 안 보이던 게 보이기 시작합니다.
2. 보조선은 보조선을 긋기 위해 존재하는 것이 아니다.
이건 정말 중요한 이야기라고 생각합니다.
학생들을 가르치다 보면 '보조선을 긋는 것 자체'에 매달리는 경우가 많습니다.
하지만 보조선의 의미는 그런 데 있는 것이 아닙니다.
문제로 살펴보겠습니다.
이 문제의 마지막에서 저는 cos값을 찾으려고, 그리고 sin값을 찾으려고
그러니까 '직각삼각형을 만들기 위해' 보조선을 그었습니다.
2-1. 삼각형에서의 삼각함수 값을 활용할 생각도 해야 한다.
보조선과 연결되는 이야기인데
보통 sin, cos, tan의 정의 그대로를 기억하거나,
sin법칙, cos법칙 그 자체만 생각하는 경우가 많습니다.
그러나 우리가 중학교 때 배웠던 것처럼
삼각형에서의 삼각함수도 구할 줄 알아야 합니다.
피타고라스 정리와 연계되는 경우가 많죠.
위에 나온 문제에서도 마찬가지입니다.
3. 변형 공식은 암기해둘 필요가 있다.
sin법칙에서 나오는 공식이 았습니다.
저는 다음 세 가지 공식을 모두 외우고 있습니다.
cos법칙에서 나오는 공식이 있습니다.
저는 다음 두 가지 공식을 모두 외우고 있습니다.
워낙 문제를 많이 풀고,
또 수학 실력이 뛰어나서 안 외우고도 자유자재로 전환이 되는 사람은 모르겠지만
(사실 그런 사람도 머리 속에 이미 '외워져' 있는 거겠죠.)
일반적인 학생들은 "아니 누가 변형 공식을 무식하게 외움? 그냥 현장에서 식 변형하면 되지."
라는 생각을 많이 합니다.
그렇지만 이런 문제들이 나왔을 때 보자마자 풀이가 시작되려면
체화의 과정도 분명 필요할 겁니다.
삼차함수 비율 관계를 현장에서 증명하지 않는 것과 비슷한 맥락이라고 생각합니다.
특히 cos 공식 같은 경우, 저는 두 번째 공식을 훨씬 더 많이 쓰는 거 같네요.
솔직하게, '반드시' 암기해둘 필요가 있다고 말하고 싶습니다.
최상위권이 아닌 이상 머리 속에 넣어두지 않으면 바로 꺼내 쓰기는 어렵다고 생각합니다.
당연한 이야기이지만, 암기에 앞서 이해는 필수입니다.
4. '나만의 말'로 여러 가지 도구를 정립해두자.
많이 얘기했던 부분입니다.
'같은 cos값을 다른 삼각형에서 활용하기', '각을 넘기면 cos은 마이너스' 등
문제에 곧바로 써먹을 수 있도록
관련 개념을 나만의 말로 다듬어 놓는 것이 좋습니다.
5. 삼각형의 변과 각에 대한 명칭
이건 그렇게 중요한 건 아닌데
쉬운 문제에서 삼각형을 매번 그림으로 그려가며 푸는 학생들이 있어 간단하게만 넣겠습니다.
다들 배웠던 내용일 겁니다.
문제에서는 이런 식으로 활용될 수 있겠네요. 3번 파트에서도 똑같이 썼었죠.
더 생각나는 것도 있지만 기본적인 건 이 정도인 듯합니다.
읽어주셔서 감사합니다.
유익하게 보셨다면 좋아요 + 팔로우 부탁드립니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
인강교재 0
정시러들 다들 인강 교재 홈페이지에서 정가로 구매하나요? 번장으로 사려고 했는데...
-
패스 끊어서 인강 들을 때 같은 교재는 아이디 당 한번 그리고 한권만 구매가능한거 맞나요?
-
이걸로 책사고 저 현금 받게 책 싸게 사가세요 ㅠ
-
교재추천 0
현역 고3인데 미적분 마플시너지, 수특, 절대등급 다 풀었는데 다음으로 마더텅...
-
김준 크포 필수이론 교재 다 포함해서 432,800이고 패스 290,000이던데...
-
시대인재 수학 단과 수업료는 지불했는데 교재는 따로 수업 전에 미리 구입을 해야...
-
일클 듣을때는 연필통이랑 같이 벅벅 했는데 연필통이 별로 도움되는거 같지는...
-
핫콜 양이 너무 많은데 쌤이 수업시간에 9까지인가 나갔는데 10,11,12도 풀어야할까요?
-
2021 교재로 2023 브크 강의 들어도 지장 없나요? 1
2021 교재로 2023 브래인크래커 들을려고 하는데 괜찮나요?
-
필기는 샤프로 하고 포스트잇 이용했습니다 고석용 베테랑의 개념 완성+필기노트...
-
아는 선배한테 작년 션티 구문 교재(2022) 받았는데 새로 살까요 아니면...
-
책 살 때는 메가패스랑 포인트 주는 걸로 샀는데 팔 때 본래 책 값으로 파나요?...
-
매체N제 샀는데 쓰기도 전에 이렇게.. 눌린 자국이 있네요… 그냥 참고 풀어야 하나
-
작년에 신택스 듣다만 교재 있는데 그걸로 올해 강의 들어도될까요? 작년이랑 교재 많이 달라졌나요?
-
현우진T 기하 시발점 (2022)-정가 28000원 -> 택포...
-
매직개념완성 교재 팔아요ㅜㅜ 앞부분 조금 필기되어있어요
-
뉴런 시냅스 수1 기벡 남았습니다. 배송비 포함 수1 3만원 기벡 1강 필기 좀...
-
2021 훈련도감 문학, 2021 훈련도감 워크북 풀셋입니다. a급입니다. 쪽지주세요
-
택포 1에 팔아요 쪽지주세요
-
배성민-기출어시스트 확률과통계 1만2천원 션티-kiss GUIDE BOOK 7천원...
-
배성민-2022 기출어시스트 확통(택포 1만2천원) 차영진-십일워-수1(택포...
-
현우진 시발점 수1 수2 오지훈 배기범 교재 제외 한번에 5만 이상씩 받습니다
-
제가 수능을 안보게되서 오늘 받은 키스 에센스, 마피모의고사 판매합니다 연락주세용
-
7주차 부터 16주차 까지 6만원으로드립니다. 새책입니다.쪽지주세요
-
시대 화2 4
화2는 리바 안 나눠주나요..?
-
현우진 이과 뉴런 교재(수1, 확통, 미적분) 사요! 1
새 책 삽니다
-
조정식 분석서, 믿어봐 문장편은 둘다 펼쳐보지도 않았고 아예 새 책입니다. 둘다...
-
2021 현우진 뉴런&시냅스 판매합니다. 전부 미개봉 미사용 손도 안 댄 아예 새...
-
현강생분들 ㄱㅇㅇ쌤 뭐 나눠주셨어요? 오늘 못가게 되어서ㅠㅠ
-
팔사람 구해요 ㅠㅠ
-
댓글다신 분의 평가를 보고, 좀 읽기 편하게 바꿔봤습니다. 모든 내용을 다 올릴 수...
-
제가만든 수능교재에 대한 반응보고 싶습니다. 그래서 끄적거림 2
다시봤는데 와 내가 정말 싸가지 없게 썼구나 ㄷㄷ... 역시 술은 무서워 ㄷㄷㄷ...
-
스×이에듀 전체 수강가능한 인강 프리패스 240000원+ 이×영 생윤 개념완성 교재...
-
시발점 미2 확통 있는데 시발점 교재만 있어도 바이블같은 개념서 필요 없이...
-
뭐로할까요? 알텍수2 4회독 끝났고, 미적분1은 명작2회독 중인데 어차피 계속...
-
서강대 17 새내기인데요 일반화학 일반생물학 미적분학 책이 되게비싸더라구요 ㅜㅜ...
-
뭐 볼게 있어서 메가 가입했는데 신규회원이라고 교재무료 쿠폰을 줬는데 이걸 수능...
-
공부할때 보통 교재를 펼치면 완전히 펼쳐지지도 않고 도서관에서 공간도 조금 부족해서...
-
너희들의 기출문제 작년거만 풀어도 문제 없을려나요? 4
2018 년도 너기출이 나왔던데 2017년도 기출 추가된거 말곤 별 차이 없겠져?...
-
한 권을 풀어야할 때 굳~~이 꼽자면?
-
예비고2 지구과학 1 준비합니다. 인강듣기 전에 문제집 한권만, 개념서든 문제집이든...
-
안녕하세요. 강대 정규반 들어가게 되는 학생입니다. 개강일이 2월 13일인데...
-
오르비 회원분들이 교재중에 꿀이라고 생각하시는교재들이 뭐가 있나요? 9
오랜만에 오르비온 아재는 바뀐판도를 잘몰라서 신구문물을 좀 받아들여보고싶어서 조언을...
-
강의교재 양승진 선생님 기출코드 수2 미적분1 (기출문제만 모아 놓은 것) 김성은...
-
1.임정환 사문 생윤 개념교재 (필기 조금있음) 2.임정환 사문 생윤 문제풀이 교재...
-
션T께서 추천해주신 글 제목입니당 ㅎㅎ(빠른피드백)본론으로 돌아와서 제가 다음 달...
-
기부해주실분 계신가ㅇ...ㅛ....주시면 감ㅅ...ㅏ ㅎ..ㅏ게..ㅆ습...니다
-
풀어보신분 계신가요?전체적난이도나 퀄리티 유형같은거 공유 부탁드립니다!
-
능률 영어 고급독해 난이도가 어느정도 될까요? 이솔,리로직,블랙라벨 영어 등 다...
-
박광일선생님 홀수 수능특강 교재 구매합니다 정가보다 만원 더주고 구매합니다...
선 좋아요 후 감상
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
수학 허수에게 너무나 좋은.. 여러번 봐야지![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/2020_foolsday/oribi/006.gif)
존경합니다4번은 도형은 물론 수학할 때 되게 중요한 마인드인 것 같네요
작년 9평 14번 ㄱㄴㄷ 문제에서도 식만 보면 되게 거창해보이는데 그냥 ‘(p,f(p))를 원점으로 옮겨’ 라고 번역만 하면 문제의 난이도가 한결 수월해지는 것처럼요
작년 9평 22번 평균변화율 극한식에서도 그렇고 특히나 함수 문제나 도형문제에서 포장지 한겹 쌓인둣한 문제가 많아진 것 같아요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi/035.png)
제가 국어 가르칠 때도 쓰는 말이고 영어에서도 씁니다.결국 자기가 얼마나 이해를 해두었느냐가 되게 중요한 거 같아요
다음에는 나만의 말 칼럼을 한 번..ㅎㅎ
좋은 칼럼 감사합니다! 근데 한 가지 실수가 있어서요 1번 내용에서 선분 BC 길이 구할 때 2sqrt21을 2sqrt2로 쓰셨어요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/018.png)
감사합니다. 수정했습니다!이건 제 개인적인 팁이면서도 하나의 기본기인데 삼각형 결정조건과 그에 따른 삼각형의 해법(삼각형의 모든 내각의 크기,변의 길이를 구하는 법)은 모두 암기해두는게 좋습니다. 이때 삼각형을 풀고 싶으면 복잡하게 사인법칙이나 코사인법칙을 활용하는 것 보단 적당히 수선의 발을 내리는 풀이가 간편한데 이건 본인이 직접 모든 케이스들을 그려보면서 어떻게 수선을 내려야 풀리는지 연구해봐야 합니다. 예를들어 변이 세개 주어지면 세 내각은 모두 코사인법칙으로 구할 수 있고, 내각이 두 개 주어진 경우 세 내각이 주어진 것과 동치이므로 아무 변이나 하나 알면 삼각형이 결정됩니다. 이때는 수선의 발을 적당히 내리면 삼각형이 무조건 풀립니다.(안 풀리면 보조선을 잘못 그은 것입니다.) 내각 하나,변 두 개인 경우 끼인각이면 코사인 법칙을, 끼인각이 아니면 수선의 발을 내려서 풀면 됩니다. 끼인각이 아닌 경우 원칙적으로 삼각형이 결정되지 않고 두 개의 케이스가 존재하지만 보통 도형문제에서는 그림이 주어지므로 그림 상에서 수선의 발을 내려보면 삼각형이 결정됩니다. (삼각형이 예각삼각형인지,둔각삼각형인지로 케이스가 갈리기 때문에 그렇습니다.)
맞아요. 이번 13번에서도 루트10 구하는거
코사인법칙으로 다들 풀었던데 수선만 내리면 특수각이라 1:1:루트2 눈으로 봐도 나오죠..
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
칼럼 써주세요 선생님..!사실 의외로 도형이 제일 발상적인 그런게 적은듯
시키는 대로만 슥슥하면.. 애들이 기하 하도 어려워해서 일부러 쉽게 내는걸수도 있긴한데
적분은 진짜 어려운 논술문제 같은거 보면 이걸 이렇게 치환해? 이런게 아직 잘 안보여요 ㅜㅜ
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi/035.png)
깨달으면 다른 고난도에 비해서 상대적으로 쉬운 편인 거 같긴 해요진짜 어려운 문제는 도저히 못 풀겠지만..