[박수칠] 역함수의 미분법 이해하기
수학영역 A형에 비해 B형에서는 다양한 미분법/적분법을 배우게 됩니다.
그 중에 살~짝 어렵고 헷갈리는 것이 '역함수의 미분법'인데요,
이 글을 통해 간단명료하게 설명해드리겠습니다.
1.일단 역함수의 미분법은
(1) x=f(y) 꼴의 함수를 미분하기 위한 것입니다.
(2) 그래서 역함수의 도함수를 구하는데 이용되죠.
2.역함수의 미분법에 관련된 공식은 다음 두 가지가 있습니다.
각각의 증명은 다음과 같습니다.
(1) 의 증명
(2)의 증명
3.그럼 공식 2-(1)을 이용해서 도함수를 계산해봅시다.
(1) 주어진 함수를 x=f(y)의 꼴로 표현하기 위해 양변을 n제곱합니다.
(2) 양변을 y에 대해 미분합니다.
(3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.
(4) 따라서 주어진 함수의 도함수는 다음과 같습니다.
(1) 역함수를 구하기 위해 x, y의 위치를 바꿉니다.
y=f(x) 꼴로 정리하지 않아도 위 식은 이미 역함수입니다.
(2) 양변을 y에 대해 미분합니다.
(3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.
이 식이 바로 역함수의 도함수입니다.
역함수 를 y=f(x)의 꼴로 표현하기 어렵기 때문에
위의 도함수를 굳이 x에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다. 또한
역함수의 그래프 위의 점 (3, 1)에서의 미분계수를 구하고 싶으면
이 도함수에 y=1을 대입하면 됩니다.
4.의 의미
앞에서도 언급했다시피 함수 y=f(x)와 그 역함수가 y=g(x)가 모두 미분가능하면
이 성립합니다. 이 식에서 (x, y)는 역함수 y=g(x) 위의 점을 의미합니다.
만일 점 (a, b)가 역함수 y=g(x) 위의 한 점이라면 다음의 식이 성립하겠죠.
이때, g'(a)는 역함수 y=g(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선 기울기,
f'(b)는 함수 y=f(x) 위의 점 (b, a)에서의 접선 기울기를 의미합니다.
따라서 위 식은 두 접선의 기울기가 서로 역수관계임을 의미하겠네요.
그럼 문제 하나 풀어봅시다.
이 문제는 2010학년도 9월 모평 가형 27번 문제입니다.
f'(a)와 g'(a)를 구하는 문제인데, 역함수의 도함수는 구할 필요가 없고
다음과 같이 를 이용해서 역함수의 미분계수만 구하면 됩니다.
(1) f'(a)의 계산
함수 f(x)의 도함수 으로부터
(2) g'(a)의 계산
g(a)=b라 하면 로부터
(3) 답 계산
g(a)=b로부터 f(b)=a이므로
이다. 이를 이용하면
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
고대의료원 교수들 "12일부터 무기한휴진…전공의요구 수용돼야" 1
"응급·중증환자 진료는 계속…의료인 과로 피하고 환자 안전 지키기 위한 것"...
-
잇올 딱맞춰들어갔는데 개같이 광탈당할줄 몰랐네... 학원에 이제 자리도 없는거같은데...
-
못보게생겼거든요…큰일난다고해도 딱히 방법도없지만 여쭤봅니다ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
-
ㅅㅂ..... 0
아오...
-
실모든 모고든 풀 때 언 독 문 대략 얼마나 쓰세요? 시간이 항상 문제라 좀 줄여야...
-
과연 최저점은 어디일까
-
사실 포기 안 해도 방법이 없긴 함
-
오늘부터갓생..
-
지방러의 장점 6
평가원 모의고사 접수가 비교적 널널함
-
내가 다니는 재종 논술 주1회 3시간에 40인데 비싼거지? 2
ㅈㄴ비싼거같은데 논술하시는분들중에 논술 어떻게 공부하는중인지좀,.
-
내 손이 문제인듯 걍 운지하러 갈게
-
2학기는 낭낭하게 9학점 정도만 듣고 일본어 공부를 해보실까…
-
내 반수 플랜 1
일단 2학기를 통으로 준비하든 깨작깨작 준비하든 성적차이가 유의미 하지는 않을듯...
-
핑프임?ㅇㅇ
-
잇올만 믿고 7월 1일까지 아무생각없다가 신청하려니까 티켓팅마냥 다 빠져나감......
-
N제 존나 많이 풀기랑 실모 존나 많이 풀기 뭐가 날까요
-
9평 신청 1
아직 자리 남은데 없죠? 서울에서는 잇올 신청 놓쳤으면 어떻게 해야되나요?
-
갑자기 궁금한거 7
학교신청은 자기 모교인 고등학교에서만 가능한건가?
-
136일의 기적 1
ㄱㄴ?
-
러셀 9모 0
는 아예마감인거죠..? 취소자리 이런것도 안풀리나요 ㅠㅠㅠㅠ
-
잇올도 실패해서 진짜 큰일났는데
-
이라서 이투스패스 뿐인데 혹시 과탐생1선생님 화1 선생님 추천 좀 해주세요ㅠㅠ 부탁드릴게용,,,0
-
일단 축하는 해줄께 아마 어딜가든 육군 중 이상의 꿀은 빨겨 기훈단, 특기 성적...
-
병원인데 0
9시에 나갔는데 1시간 15분... 내순서 아직 남았고 너무 오래 걸리면서 몸이...
-
하사십 던지고 옴
-
샤인미급임??ㄷ
-
모교도 망 잇올도 안됨 ㅠㅠ 뭐 방법이 없나요
-
장난댓 금지
-
3수해서 들어온학교 지금 3학년 1학기(이번학기는 재수강 존나함 사실상 2학년)...
-
덥다 2
땀 왜이리 많이 흐르냐 또 씻고 가야됨?
-
모교 가야겠네 0
어후 자리 있다네 다행이다..
-
모교 좆좆좆반고라서 모고보러오는 n수생 없어서 현역이랑 봐야한단말야ㅠㅠㅠ
-
저번주부터 시작했는데 안들으려니 불안하고 들으려니 시간이 너무 많이들고 …....
-
그는신인가?????
-
모교 방문 on 2
9평 신청 완료.
-
식을 보면 어떤 방향으로 가야할지 딱 보이는 사람들 보면 너무 신기하던데 단순한...
-
저희 모교는 9모 신청 받는 날 2분 컷 마감 됨
-
잇올!!!! 0
개같이 실패
-
잇올 클리어 9
와바바바바바바바바바바바바바박
-
다 적고 제출하니깐 대충 확정 뭐시기는 13시 이후라는 팝업떴는데 이거 신청...
-
러셀처럼 바로 마감될 줄 알고 10시 땡치자마자 했는데 좌석 9개 남았는데 신청됐네...
-
아.. 망했다.. 12
-
진짜 사이트개구리네
-
가만히 있지를 몬하노... 하루종일 일어나서 공부하다 책정리하다 나갔다... ㅅㅂ 화나네
-
[단독] “방송사고로 수능영어 독해부터 풀어”… 법원 “국가 책임은 없다” 14
대학수학능력시험 영어 시간에 발생한 방송사고로 듣기 평가에 혼선을 겪은 수험생들이...
-
현역의 고충은 생각보다 세군
-
국어 기출 개년 0
전과목 필수 개년만 하려도 하는데요..! 국어는 2017부터 푸는 게 좋다고 하는데...
라이프니츠 미분법의 장점이죠ㅋㅋdy/dx를 분수꼴(?)로 생각할 수 있다는!
그렇죠! 합성함수의 미분법(연쇄법칙), 매개변수로 표현된 함수의 미분법, 매개변수로 표현된 함수의 이계도함수, 더 나아가면 치환적분도 분수로 간주할 수 있구요~ ^^
감사히잘보고갑니다
감사합니다~~^^
명쾌합니다!!!
Dy/dx를 어떻게 읽죠? 디엑스분의 디와이거 아니라던데여
그냥 디와이디엑스 라고 읽으시면됩니당~