[박수칠] 맞췄든, 틀렸든 이유를 제대로 모르면 정리는 필수입니다.
성적 향상을 원한다면 경계해야 할 것이 몇 가지 있습니다.
그 중에는 ‘자기 실력에 대한 과대 평가’와 ‘실수에 대한 관대함’이 있죠.
자기 실력에 대한 과대 평가-자신이 맞춘 모든 문제를 자신이 안다고 생각하는 것-는
기초부터 차근차근 내실 있게 공부하는 것보다 겉으로 보이는 점수에 집착하게 합니다.
논리에 맞지 않게 풀었더라도, 찍었더라도 맞기만 하면 그 점수를 자신의 실력으로 생각하게 하죠.
(과대 평가와 자신감은 다른 얘깁니다.)
실수에 대한 관대함-이번에 틀린 문제를 다음에는 맞출 수 있다고 생각하는 것-도 문제입니다.
틀렸다면 원인을 파악하고, 그에 맞게 공부하면서 다음에는 틀리지 않게 만들어야 합니다.
하지만 ‘이번엔 실수로 틀린거야’라고 생각하며 그냥 넘어가버린다면 같은 실수를 반복하게 됩니다.
그럼 실수가 아니라 실력이 그 정도라는 것을 인증하는 거죠.
모의고사를 볼 때마다 자신이 맞춘 것, 틀린 것들을 다시 되짚어봐야 합니다.
맞춘 문제들은 과연 내 방법이 최선인지, 옳은 것인지를 확인하고
틀린 문제들은 왜 틀렸는지를 파악해서 꼭 정리해야죠.
여기에 조금이라도 도움이 되도록
실수로 포장될만한 잘못이 나올 수 있는 문제들을 골라 봤습니다.
(1) 잘못된 기호 해석
먼저 다음의 문제부터 살펴봅시다.
이 문제는 지난 3월 학평 수학영역 A형 27번입니다.
수열의 일반항-수열의 합-수열의 극한이 복합된 문제였는데요,
여기서 극한에 포함된 
, 
을 잘못 해석한 학생들이 있었습니다.
2n에 너무 집중한 나머지
과 같이 짝수번째 항들의 합으로 해석해버린 것이죠.
하지만 
, 
에서 , 을 만들기 위해서는
'대입'을 적용해야 합니다. 즉, 주어진 식에 n 대신 2n을 대입해서
으로 봐야 하는 것이죠. 또한 의 계산은 수열 
이 등차수열임을 이용해서
과 같이 하면 됩니다.
비슷한 예를 하나 더 들어볼까요? 다음의 문제를 봅시다.
⓵은 어떤 수열의 합을 정의하는 식입니다.
그래서 수열의 일반항과 합의 관계 
를 여기에 어떻게 적용할지 고민하다가
'⓵을 
으로 보면 
은 좌변에서 끝항 
을 지우고, 우변은 n 대신 n-1을 대입한
이다. ⓵에서 이 식을 빼면 일반항이 나올 것이다'라고 생각하면 이 문제는 틀리는 겁니다.
왜냐? ⓵은 자연수 n에 대한 항등식이고 우변에 n 대신 n-1을 대입하면,
좌변에도 똑같이 해줘야 하거든요. 결국 다음과 같은 식이 나타납니다.
그리고 ⓵에서 이 식을 빼주면 다음의 결과가 나타나죠.
결국 주어진 식 
은 이 식에 n=10을 대입한 것과 같습니다.
그럼 여기서 중요한 것은 뭐냐?
에서 , 을 만들어내려면 '대입'을 양변에 똑같이 해줘야 한다는 겁니다.
(2) 개념을 잘못 적용한 경우
아래 문제는 2009학년도 9월 모평 수리영역 가형 10번 문제입니다.
(예전에도 한 번 올렸던 문제입니다.)
여기서 잘못 풀기 쉬운 것은 ㄴ입니다. g(x)가 정적분으로 정의되어 있고,
그 정적분의 위끝이 x니까 양변을 x에 대해 미분해서 도함수
g'(x)=(x-1)f(x)
를 구하고, 여기에 x=1을 대입하면
g'(1)=0
이 되므로 함수 g(x)는 x=1에서 미분가능하다'라고 생각하는 학생이 있었거든요.
그런데 이 풀이는 관계가 잘못된 겁니다.
함수 g(x)가 x=1에서 미분가능한지/불가능한지 모르는 상태에서
도함수와 미분계수를 계산해버렸거든요.
'함수 f(x)=ln x의 도함수가 f'(x)=1/x이고, f'(-1)=-1이니까 f(x)는 x=-1에서 미분가능하다'
라고 하는 것과 같은 논리인 겁니다. (물론 틀린 얘기구요.)
따라서 정적분을 포함하는 함수의 미분가능성에 대한 조건부터 알아야 합니다.
이 개념에 따라 문제의 함수 (x-1)f(x)는 실수 전체에서 미분가능하기 때문에
함수 g(x)도 x-1에서 미분가능한 것이라는 사실을 명심해야 됩니다.
(3) 유형의 일반화 실패
또 예제부터 살펴봅시다.
이 문제는 2014학년도 수능 수학영역 A형 28번입니다.
두 함수의 곱으로 이루어진 함수가 특정 점에서 연속이기 위한 조건을 묻는 문제죠.
문제를 풀기 위해 함수 f(x)의 그래프부터 그리면 다음과 같습니다.
그래프에서 알 수 있듯이 함수 f(x)는 x=0에서만 불연속이므로
함수 f(x)를 x축 방향으로 a만큼 평행이동시킨 f(x-a)는 x=a에서만 불연속임을 알 수 있죠.
그런데 함수 f(x-a)는 x=a에서
(좌극한값)=1, (우극한값, 함숫값)=7
이기 때문에 f(x)f(x-a)가 x=a에서 연속이려면 함수 f(a)=0이 되는 수 밖에 없습니다.
따라서 a=-1 또는 14임을 알 수 있죠.
이 유형에서 다음과 같은 사실을 유추해낼 수 있습니다.
특정 점에서 (연속인 함수)x(불연속인 함수)의 연속성에 대한 일반화를 한 것이죠.
그런데 여기서 유의할 것은 x=a에서 불연속인 함수 g(x)가
x=a에서 함숫값, 좌극한값, 우극한값을 모두 가져야한다는 것이죠.
이를 신경쓰지 않으면 다음과 같은 문제를 풀 때 실수를 할 수도 있습니다.
2015학년도 수능특강 미통기 p.28 11번 문제입니다.
함수 g(x)는 연속함수 y=(x-2)^n과 x=2에서만 불연속인 함수 y=f(x)의 곱으로 이루어져 있죠.
여기에 위 일반화를 적용해볼까요?
이렇게 풀면 틀린 겁니다.
왜냐? 함수 f(x)는 x=2에서 우극한값이 존재하지 않거든요.
위 일반화를 적용하기 위해서는 함수 f(x)가 x=2에서 함숫값, 좌극한값, 우극한값을
모두 가져야 하는데 그걸 놓치면 이렇게 틀린 풀이가 나올 수 있습니다.
(일반화했다고 좋아했는데... 안하니만 못한거죠. ㅡㅡ)
이 문제를 제대로 풀기 위해서는 다음과 같이 연속성의 판단의 기본 개념인인
함수가 점에서 연속이기 위한 필요충분조건을 이용해야 합니다.
여기서 주의할 것은 두 가지.
문제를 풀다가 특정 유형들을 공통점을 뽑아 일반화했다면 조건을 명확하게 할 것.
그리고 다른 문제들에 적용해보면서 그 조건이 맞는지 확인해야 한다는 것이죠.
(누군가에게 물어서 검증받는 것도 괜찮은 방법입니다.)
예 때문에 설명이 많이 길어졌네요.
어쨌든 시험을 본 후에 위와 같은 식으로 문제를 틀리거나 어정쩡하게 맞췄다고 합시다.
좀 찝찝하겠죠? 그럼 문제 다시 분석해보고 꼭 정리해야 합니다.
(수능 볼 때는 나 자신을 믿어야 하지만, 평소에는 믿으면 안됩니다.
꼭 정리하세요~)
정리 방식은 본인이 선호하는 방식을 따르면 되구요.
저는 기본서에 접착식 메모지로 정리하는 것을 좋아합니다.
개념 정리와 문제 풀이법의 기준으로 삼은 개념서에 이런 내용들을 단원별로 붙여두면
나중에 복습할 때 다시 찾기 쉬우니까요.
기본서가 두꺼워지는 단점은 있습니다만...
뭐 이 정도 쯤이야 감수해야죠 ^^
내일 또 4월 학평이 있습니다.
지금부터라도 자신에 대한 자만과 관대함은 버리고,
본인의 실력을 정확하게 평가하고 문제점을 찾아내서 개선을 위한 노력을 하시기 바랍니다.
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감사합니다ㅋㅋ밥먹으면서보다가뜨끔.,ㅎㅎ
밥 먹다 체하진 않으셨는지? ^^;
제 글이 수능까지 끊임없이 달리는데 도움이 되었으면 좋겠네요~
ㅎㅎ역시나하는생각이들엇죠ㅎㅎ교과서를기출에적용시켜나가는단계에대한 설명도한번쯤은해주셨으면정말고마울거같아요ㅎㅎㅎ노력은하는데 뭔가조언좀얻고싶어서요~^^
저는 수능 문제를 푸는데 필요한 것이
1. 교과서의 기본 개념/유형에 대한 이해
2. 교과서에서 파생/심화된 개념/유형에 대한 이해
3. 수능스러운 문제에 대한 개별적 이해
라고 봅니다.
배점이 올라가고,
추론/문제해결력을 평가하는 쪽으로 갈수록
교과서에서 배운 것이 적용되는 부분은 줄어들고
다양한 문제에서 얻은 지식과 경험이 문제를 푸는
열쇠가 되구요.
그런 면에서 기출 분석을 할 때는
교과서를 기출에 어떻게 적용할지보다
기출 문제 풀이에서 교과서가 어떻게 이용되었는지
결과/근거적인 면을 볼 필요가 있을 것 같습니다.
(말장난 같네요... ㅡㅡ;)
어쨌든 님의 얘기가 어떤 것인지 대~충 알 것 같구요,
기회가 되면 몇몇 유형들에 대한 접근법을
정리해보도록 하겠습니다.
27번 이때까지 문제 경험으로 찍수항으로밖에 생각 못햇는데 원래식에다가 2n 대입하는건 문제 많이 풀어본 경험에 의존해야 되나요? 그렇게 접근해야 하는 필연적인 논리가 있는지 궁금합니다
일단 문제에 주어진 S_n의 정의에 주목해야 됩니다.
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n이라고 되어 있으니까
a_1부터 a_n까지 빠짐없이 더한 것이 S_n이라고 받아들입니다.
다음으로 우변에서 n을 포함한 항이 끝항 뿐이라는 것에 주목해야 됩니다.
그러니 좌변에 n대신 2n을 대입할 때 우변에서도 똑같이 대입해주고,
n이 없는 항들은 건드리면 안되는거죠.
반면에 그 아래에 있는 13번은 좌변의 모든 항에 n이 포함되어 있습니다.
그러니 우변에 n대신 n-1을 대입할 때, 좌변의 모든 항에도 똑같이 해줘야 하는 것이죠.
진짜 정성스럽게 글써주셔서 감사합니다~ 좋은 조언이었어요^^
감사합니다~ ^^
앞으로도 도움이 될만한 주제를 골라
종종 글 올리겠습니다.
자꾸 잔실수 하는거 어쩌죠 ㅠㅠ.. 가령 시그마 기호를 리미트 기호로 잘못본다든지.. 이런실수는 순간적이라서 어째야될지..
자꾸 잔실수 하는거 어쩌죠 ㅠㅠ.. 가령 시그마 기호를 리미트 기호로 잘못본다든지.. 이런실수는 순간적이라서 어째야될지..
자꾸 잔실수 하는거 어쩌죠 ㅠㅠ.. 가령 시그마 기호를 리미트 기호로 잘못본다든지.. 이런실수는 순간적이라서 어째야될지..
제가 현역이었을 때는
1.시간이 몇 십 초 더 걸리더라도 문제를 천천히, 꼼꼼하게 읽고
(한 문제를 두 번 이상 읽는 건 자주 있는 일이었구요)
2.효과적인 검산을 위해 문제 아래 여백의 왼쪽 위에서부터
풀이를 한줄한줄 쓰는 습관으로 실수를 줄였습니다.
고대여님도 문제 파악에 시간을 조금 더 들이는 것은 어떨까요?
진짜 좋은글 써주셨네요 글의 제목에서부터 공감이되서 눌러봤는데 글이 ㄷㄷㄷ하네요 ~
예전부터 쓰려고 생각했던 글인데
미통기 작업 끝나고 이제서야 올렸습니다.
하고 싶은 얘기가 조금씩 늘다 보니 길어졌네요~ ^^
양적인 공부로만은 안되군요... 정확하게 빠르게..
맞습니다.
많은 문제를 풀면서 복습하고 다지는 것도 중요하지만,
새로운 것을 알아내고 깊이 있게 이해하는 것도 중요하죠.
그런 의미에서 모의고사를 보고 나면
맞췄든, 틀렸든 좀 자신없게 풀었다 싶은 문제는
해설 강의를 꼭 들어보세요.
문제를 좀 더 다양한 관점으로 보고, 깊이 있게 이해하는데
많은 도움이 될 겁니다.
아 정말 잘봤습니당ㅜㅜ 진짜 감사해요
긴 글 올린 보람이 있네요~ ^^
감사합니다 참고할게요~^^
좋은 글 감사합니다^^
뒷통수를 맞아서 얼얼한느낌이네요ㅎㅎ특히 수열문제는 제가 정말 공부가 부족했다고깨달음
위 수열 문제에서 S_2n, T_2n을
잘못 해석하는 학생이 의외로 많더라구요.
위 내용 잘 정리해두시구요,
앞으로도 공부하면서 얻은 깨달음은
꼭 찾기 쉬운 곳에 남겨두고, 복습하시기 바랍니다~
저런식으로 써놓고
계속 복습해야 실력이 늘겠군요
..
그런데 진도 나가는거에 비해서
문제 풀이가 많이 느린건 어떻게 하죠
문제집은 수2푸는데
개념서는 적분과 통계 보고 있거든요
수1도 풀어야되고 적분통계도 풀어야할텐데
압박이 심하네요
어떤 성격의 문제집인지 모르겠지만, 쎈수학 같은 유형 문제집이라면 비슷한 유형들 중에서 1~2개씩 선정해서 푸는 것도 한 방법일 것이고, 기출 문제집이라면 최근에 출제된 것들부터 보는 것이 효율적이겠지요. 수능 유형에 대한 접근 방식의 문제라면 인강 같은 것으로 정리해볼 수도 있을 거구요.
이때 중요한 것은 위의 방법이나 다른 방법을 썼을 때 내게 도움이 되는 방향인지, 아닌지를 꼭 고민해야 합니다.