2014학년도 대수능 수학영역 B형 29번 풀이
2014학년도_수능_수학영역(B형)_홀수형_29번.pdf
A. 직관을 최소로 줄인 접근법
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B. 처음 풀었을 때의 접근법
위 풀이 과정이 논리적으로는 문제가 없을거라 생각하지만 실전에서는 이렇게 접근하기도 힘들고, 계산하는데 시간을 다 써버릴 수도 있습니다. 제 첫 번째 풀이도 직관적인 부분이 많다 보니 위와 같은 복잡한 계산이 없구요. 저는 처음에 다음과 같이 풀었습니다.
1. 맨 처음 이 문제를 보았을 때는 그 동한 파악했던 문제 접근 방식 중 다음 두 가지를 생각하고 적용했습니다.
(1) 각 벡터의 시점을 일치시켜 본다
(2) 3D 문제를 2D 문제로 바꾼다.
2. 세 벡터의 시점을 일치시키기
위 풀이와 같이 두 평면 y = 4, y + √3z + 8 = 0 이 이루는 각을 계산하고 시점을 일치시켰습니다. 이때 주어진 구가 두 평면이 이루는 예각쪽으로 오는지, 둔각쪽으로 오는지를 구분해서 , 를 그립니다. 그러면 두 개의 직각삼각형 PQQ1, PQQ2가 나타나는데 이를 이용해서 주어진 식을 QQ1^2+QQ2^2으로 간단하게 변형합니다.
3. 3D를 2D로 바꾸기
에서 삼각형 PQQ1, PQQ2는 한 평면 위에 있지 않을 수 있습니다. 하지만 QQ1^2+QQ2^2에 포함된 세 점 Q, Q1, Q2는 항상 한 평면 위에 있기 때문에 이 세점을 포함하는 평면으로 처음 주어진 두 평면을 잘랐습니다. 그럼 , 이 나타나죠. 주어진 구도 함께 잘라서 평면 QQ1Q2를 포함하는 단면을 그리면 , 이 나타납니다.
4. QQ1^2+QQ2^2가 최대가 될 조건 찾기
여기서는 직관으로 찍지 않으면 계산이 너무 어렵습니다. 먼저 의 오른쪽에 있는 식과 같이 QQ1^2+QQ2^2가 선분 QH를 포함하는 식으로 바뀌며, 주어진 식이 최대이려면 선분 QH가 구의 지름이 되어야 함을 예상할 수 있습니다. 그럼 와 이 나타나죠.
그 다음에는 그냥 눈으로 봐도 보다 에서 QQ1^2+QQ2^2의 값이 더 클 것이라는 걸 알 수 있습니다. 이때, 두 각 알파와 베타가 일치하면 최대가 될 것으로 예상했구요.(근거는 부족) 그래서 에서 QQ1^2+QQ2^2= (2√3)^2 + (2√3)^2 =24로 계산했습니다.
이처럼 최초 풀이에서는 그림으로 다 해결했구요, 이렇게 해도 답까지 가는데 시간 꽤 걸리더라구요. ㅜㅜ
(직관 지존들 존경합니다~ ^^)
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29번임당
29번이네요..ㅎ
29번아님?
고쳤습니다 ^^;
도대체 이걸 어떻게 생각하죠.... 패턴이 있었나요? (유사문제)
본문 하단에 이 문제를 처음으로 풀었을 때의 접근 방식을 추가했습니다. 벡터의 최대, 최소 유형에 속하지만 예전에 출제됐던 문제와 차이가 크죠. 그래서 기존 문제에 쓰던 접근 방식은
(1) 벡터의 시점 일치 시키기
(2) 3D문제를 2D로 잘~ 변형하기
정도 뿐입니다.
제가 수능에서 풀었을때랑 비슷하네요ㅎㅎ
전 이거 산술기하 평균으로 출었는뎅.... 아무도 그렇게 푼사람을 못봄...
QQ1^2 +QQ2^2에 산술, 기하를 적용해서 구한다는 얘긴가요?
아뇨 lP1 Q1l^2 + lP2 Q2l^2 이걸 바로 산술기하로 했어요
산술기하는 곱이 일정해야 되는데 두 벡터의 곱이 일정하지 않잫ㄴ아요.. 근데 답은 또 어떻게 맞아간거죠.. 이런걸 보고 우연의 일치라고 하죠.
맞습니다. 산술기하를 적용하려면 합, 곱 둘 중 한 쪽이 일정해야 되죠. 그런데 이 문제에서는 산술기하의 등호 성립 조건이 위 풀이 B-4의 '알파=베타'인 경우와 일치합니다. (평가원의 선심? ^^)
이렇게라도 억지로 답을 내야지, 풀이 A처럼 가다간 정말 제 시간에 못풀어요...
도대체 이걸 어떻게 생각해내지..?
최댓값이 언제 나타나는지를 계산한 과정은 다시 풀면서 채워넣은 거구요, 첫 번째 풀이에서는 거의 그림대로만 생각했습니다.
29 30 날리고 1등급 후우
1등급 대부분이 같은 상황일텐데... 29번은 난이도가 넘사벽이지만, 30번은 정말 시간만 있었으면 어떻게 해볼 수 있었던 문제라 아쉬워하는 학생들이 많을 것 같습니다.
222222222222222222후우..심지어 29답을 72로햇져영ㅎㅎ
이거 그당시풀때 x축을 기준으로 봐서 2D로 옴겼더니 두평면 60도 나와서 삼각형이다 하고 푼거네 ㅋㅋ
24 72 는 잊지못하겟다
다른문제들이 매우쉬운편이여서 2012 21번 문제푸는 방식으로 풀엇어도 시간은 매우많이 남앗을겁니다
2012학년도 21번 문제는 넓이에 대한 것이라 yz평면과 평면 x-2y+2z=1이 이루는 예각 사이에 삼각형을 넣고 돌리면 간단하게 해결됩니다.
이 문제에 같은 해법을 적용한다면... 위 풀이의 에서 선분 QH를 점 H를 중심으로 회전시켜보다가 선분 QH가 최대, Q1H와 Q2H가 최소인 순간이 'alpha=beta'인 때라고 생각할 수 있겠네요. 여기서도 또는 그 비슷한 상황을 어떻게 떠올리느냐가 관건인데 참 어렵죠. ^^
마지막에 답 낼때 대칭성에 의한 최대 최소 논리 간략하게 이용해서 계산을 줄였습니다. 단, 그 전에 지름일때가 답이여야하고 평면화할 때 그 지름이 살아있어야 되는 근거를 직접 벡터를 움직여서 코사인 합의 값을 대소 비교했죠. 엄밀하게 풀려면 선생님께서 푸신대로 풀어야 하지만 시간 걸릴 것 같아서 머릿 속으로 그려서 했습니다. 이게 잘못된건가요....?
잘못된게 아닙니다. 풀이 A는 직관을 줄이다 보니 계산이 많고, 실전에 적용하기 어렵거든요. 시간 내에 풀려면 계산을 거치기보다 머리 속에서 벡터를 이동시키거나 손으로 그리면서 생각해야 합니다.
그런데 이 문제에서 대칭일 때 최대 또는 최소가 나타난다는 논리는 풀이 A의 ii)와 같이 벡터 PQ가 두 평면이 이루는 둔각쪽으로 갈 때는 제대로 적용되지만, i)처럼 벡터 PQ가 두 평면이 이루는 예각쪽으로 갈 때는 적용되지 않습니다. 결과를 보면 아시겠지만 i)에서 최댓값은 alpha나 beta 한쪽이 0일 때 나타나거든요.
자세히 들어가면 들어갈수록 골치아픈 문제예요.
아 둔각일 때는 당연히 가장 최대가 될수 없다는 것을 떨쳐서 코사인 값을 알아내서 예각 때 대칭에 의한 최대/최소로 들어갔어요ㅎㅎ 이정도면 깔끔한 풀이인가요??
예각, 둔각이 위 그림에서 각 Q1QQ2 얘기하신 거죠? 둔각일 때보다 예각일 때가 더 크다는 것을 알고서 대칭성을 적용한 거면 직관으로 빠르게 풀 수 있는 훌륭한 풀이죠.^^