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박재우 T [782346] · MS 2017 · 쪽지

2021-09-27 18:36:29
조회수 8,994

[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/00039765358


안녕하세요 박재우 T입니다.


라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.


저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.


열심히 달려봅시다.


이제 본론으로 들어가서


이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.


도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.


결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.


물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?


당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.


그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.


그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.


암튼


도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을 


가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.


한 번 알아보도록 하죠.


우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는 


대표적인 함수가 



입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.





이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠


이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.  


<Darboux 정리>


함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면 


f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.


아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.


이제 증명 한 번 해보면


 

인 경우를 생각해봅시다.


폐구간 [a, b]에서 정의된 함수


 

라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.


그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.


즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여 



를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.


그런데. 



이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로



를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로



이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로



를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.


따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로


구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게 



즉, 



입니다. 같은 방법으로

 


도 증명해볼 수 있습니다.


이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로


f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.



머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는


아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.


그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.


물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.


아래 기출 문제를 한 번 봅시다.


다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?


두서없는 글 죄송합니다.


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박재우 T [782346]

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