통계적 추정 부분의 한가지 오개념에 관하여
일단, 글을 쓰기에 앞서 이 내용은 "통계부분을 적어도 한 번 이상 공부한 적이 있는 분"들을 대상으로 하고 있다는 것을 밝힙니다.
또한 항상 1~3등급 이내로 수학등급을 받아오셨던 분들에게는 너무 당연한 이야기일 가능성이 높습니다.
또한 본인의 수학 실력은 지나가던 초등학생도 비웃고 갈 정도로 아주 하찮은 실력임을 감안해주세요.
가령 이러한 문제가 있다고 합니다.
또한, 이런 풀이가 있다고 합시다.
결론부터 말씀드리면, 위의 풀이는 엄연히 잘못된 풀이입니다.
위의 풀이의 잘못된 점을 지적하기 위해서는 다음과 같은 사실을 미리 알아두셔야 할 필요가 있습니다.
- 신뢰도 구간 계산시, "실제의 경우 모집단의 표준편차를 모르고 있는 경우가 대부분이다. 이런 경우 표본의 표준편차를 이용해도 된다는 것이 알려져 있다." (수학의 정석 p.312)
본론으로 들어가서,
위에서 제시된 저 방법에서 무엇이 잘못된 것일까요?
위의 방법에서는 "표본표준편차"와 "표본 평균의 표준편차" 이 두가지를 혼동하여 사용했습니다.
즉, 위에서 구해야 할것은 표본표준편차를 이용한 신뢰구간 계산이나, 실제로 해버린 것은 표본표준편차를 표본 평균의 표준편차로 혼동 ㅡ> 표본 평균의 표준편차로 착각한 수치를 이용하여 모표준편차 계산 ㅡ> 잘못된 답 도출의 과정으로 가버린 것입니다.
종종 보면, 의외로 많은 수의 수험생들이 이 두가지를 혼동하여 잘못된 계산절차를 밟는 경우가 많습니다.
이 두가지 개념에 대하여 자세히 알아두는것이 중요합니다.
상당히 헷갈리기 쉬운 개념이니까요.
자잘하지만 어느정도의 과외경험도 있었고, 본인 또한 고등학교 수학 교육과정을 밟아온 사람입니다.
이 부분에 대해서는 한번만에 헷갈리지 않고 바로 독파해낸 사람이 정말 드물었습니다.
개인적으로는 "독학이 느려도 가장 완벽한 공부방법이다"라는 주의를 표방하고 있긴 하지만, 이 부분에서만큼은 아닙니다.
이 부분은 독학으로 공부하면 오개념이 생길 위험이 상당히 높은 부분입니다. 용어가 비슷하고 외워야 할 공식또한 많기에 상당히 헷갈립니다.
ebs인강으로도 충분합니다. 이틀, 혹은 단 하루만이라도 이 부분에 관하여 인강을 잠시 들어보며 정리해보는 것도 나쁘지는 않을것 같습니다.
또한, 위에서 제가 언급했던 표본표준편차, 표본 평균의 표준편차를 혼동하는 실수를 저지른다고 해서 부끄러워할 이유가 전혀 없습니다. 오히려 그런 실수를 하시고, 그 실수를 극복하려고 하는 자기 자신에 대하여 자랑스러워 하셔야 할것입니다. (저 또한 현역때 공부하면서 이 개념을 받아들이는데 꽤나 오래 걸렸으니까요.)
이 글 전체의 결론 : 표본표준편차와 표본평균의 표준편차를 헷갈리지 맙시다.
이 글의 구성 : 기-승-전-병 (내가 글쓰면 항상 이러더라 ㅠㅠ)
표본표준편차와 표본 평균의 표준편차 두개의 차이점은 제가 예전 어느분께 해드렸던 설명으로 대신하겠습니다.
* "표본의 표준편자" 와 "표본 평균의 표준편차"에 대해서 차이점을 설명하면 다음과 같습니다.*
1000개의 아이스크림이 있다고 합니다. 이 중, 포도맛을 0, 딸기맛을 1, 사과맛을 2 라고 해보죠. (이 세가지 맛으로만 이루어진 아이스크림 집단입니다.)
시행 1 : 일단 100개를 묶습니다. 평균을 구합니다. 이 평균의 값을 a라고 합니다. 그리고, 이 집단의 표준편차를 "알파"로 정의합시다.
시행 2 : 시행1의 100개를 다시 흩트려서 1000개에 포함시키고, 다시 임의로 100개 추출합니다. 평균을 구합니다. 이 평균의 값을 b라고 합니다. 그리고, 이 집단의 표준편차를 "베타" 라고 합니다.
.
.
.
.
시행 n번째 : 위와 마찬가지로 이 때의 평균을 "n"이라 합니다. 그리고, 이때의 표준편차를 "뉴"라고 합니다.
이제 가능한 모든 시행을 하였을때를 생각해보죠.
"알파, 베타, 감마...뉴" 이것들은 각 표본집단들의 표준편차인 "표본표준편차"입니다.
한편, "표본 평균의 표준편차"는 다릅니다.
a,b,c,d,....n의 값들을 또다시 집단으로 묶어봅니다. (순수히 "평균의 값들"만 집단으로 묶습니다."
a,b,c,d,....,n의 값들을 평균낸 것을 "표본 평균의 평균"이라고 합니다.
a,b,c,d,....,n의 값들의 표준편차를 계산한것을 "표본평균의 표준편차"라고 합니다.
그리고, 공식 (시그마)/sqrt(표본집단의 크기)공식은 "표본평균의 표준편차"를 구할때 쓰는 공식입니다.
위의 "표본표준편차"와는 전혀 관련이 없는 내용입니다.
또한 이 공식에 대한 고등학교 교육과정 내의 증명은 없습니다. "알려져있다."라고만 나와 있지요.
그림으로 나타내면 다음과 같습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
맞팔하실분 ㄱㄱ 0
저는 항상 잡답태그를 답니다
-
유루세 사스케 0
코레데 사이고다
-
이렇게까지 1등이 안나온 적도 있다
-
크록스 ㅁㅌㅊ? 11
-
MBTI 인증 0
NOW BEFORE INFJ에서 ENFP로 변화
-
너도 내 맘 안다면 ?
-
ㅇㅋ 탕탕!
-
심심하다 2
배고프다
-
겨울왕국 2
-
뭔가 전부 50:50 느낌임 중립적인 사람 ㄷㄷ
-
근데 기분 좋음
-
꺄악 첫눈이다 5
-
글 1
말 들어드림
-
인터넷 친구긴하지만 여기서 대화하는 분들중에서 친한분 3분이 인프피임
-
혼자 떠들고 있으면 관심을 한몸에 받고 있는 것 같아서 창피함
-
수능준비하면서 살이 너무쪄서 빼야하는데 계속 먹고싶어요 어떡하죠…
-
작년까진 못봤는데
-
설대 내신 0
평반고~ㅈ반고 내신은 몇점대까지 서울대 내신 BB받나요? 공대가고싶은 생각이...
-
참가자 없어서 참가만 하면 10만원 가져갈 것 같은데 기술이 없어서 기초적인...
-
복권돌리지마제발내꺼야 12
제발
-
사실 칼복학하면 6개월 세이프라고 봐도 되긴 하는데 이거 지금 2주째 고민중임
-
우울해지는 밤 14
왜인지는 몰라도 잠이 오고 mbti정체성까지 알아버리니 착잡해지네요 누군가가...
-
지민정우주정복 2
해동까지 n(<24)시간 남음 ㄷㄷ
-
너무 재밌었어요 9
현재 시각 3시 39분 지금까지 함께한 우리 오뿌이들 많이 사랑해요~
-
롤 너무 어렵다 5
해본 게임 중에 젤 어려운거 같아
-
일찍 잠들었다 새벽에 깨고 낮에다시자고…
-
군대 어디로 가야 16
호시노 같은 분대장 밑에서 구를 수 있음?
-
머먹을까 1.불닭 2.간장양념불고기 3.쌀국수밀키트 4.치즈떡볶이밀키트 5.던킨도넛...
-
안 친하면 F고 나 혼자 있으면 반반 이게 맞다.
-
점점 쌓여가면서 풍경 변하는 과정 보는게 ㄹㅇ 참맛인데 말이죠
-
다 자뇨 17
흠.
-
ㅇㅇ? 여긴 아직 비오는데
-
10일 너무긺 ㄹㅇ 기다리느라 목빠지는줄
-
할때마다 i만 고정이고 나머지 랜덤룰랫 수준으로 나옴
-
알바할땐 e였는데 지금은 i,n,f,p 다 80~90퍼임 친구들이 다 그림으로 그린...
-
진학사가 실채점 나오고 갈수록 칸수 내려가고 짜게 된다는 사람들 말이 있는 거...
-
오르비에서 "이새낀 올때마다 있네..."를 듣는 것입니다
-
나 T야?? 17
이 정도면 F로 쳐주시죠 졸려서 T된듯 ㅇㅇ
-
아직 안 나온 건가요? 언제쯤 나오나요?
-
??? : 응~ 저기 니남친
-
이거 들으면 피가 끓어오르는 것 같음 ㄹㅇ
-
최저 잡아야하는데 공통 47에 미적 8이에요.. 등급컷은 4나오는데 이투스는 57로 잡아서 ..
-
제법 시끄러울지도
-
혹시 여기 커플있어요? 아님 끝내주는 연애경험이 있거나.. 22
차단해버리게
-
전 아니네용 ㅋㅋ
-
-
오늘부터 갓생살려했단말임.
-
한 번도 안해봄
-
공룡중에 누가 젤 센지 말싸움 붙으면 나는 꼭 티라노가 아니라 타르보사우르스라고...
-
왜클릭 이아니라너무많아서못적음
가장 마지막 그림에서 빨간색 글씨 수정합니다 - 3.번에서 "모평균의 표준편차"를 "모표준편차"로 바꿉니다.
졸면서 만들었나 보군요. 또 하나 더 수정합니다. 저 위에 잘못된 풀이 예시에서 m(모집단)=65로 고치겠습니다.
그러면 위 표본의 평균을 표본평균x바 로놓고 우리가모르는 모평균m의 신뢰구간을 구하기위한식으로 [65- 1.96*15,65+1.96*15] 가 올바른 풀이인가요?
아뇨, [65-1.96*(15/sqrt(2500))], [65+1.96*(15/sqrt(2500))]이 옳은 풀이죠.
아하 표본의 표준편차가 모표준편차가되고 2500명에대한 표본평균의 표준편차를 구해서 표본평균으로부터 모집단을 추출해내는게 맞나요? 어지럽네요ㅠ
아뇨ㅠㅠㅠ
표본평균의 표준편차는 저 문제와 전혀 상관없는 개념이예요 ㅠㅠ
표본의 표준편차가 모표준편차가 되어서 저 신뢰도구간 공식에 넣는것이고,
가끔 어떤 분들이 표본의 표준편차와 표본평균의 표준편차가 같은것인줄 착각하고, (표본평균의 표준편차) = (모집단의 표준편차)/sqrt(n)공식 이용해서 (잘못된)모집단의 표준편차를 구해서는 답을 계산하기도 해서 그런겁니다.
공식에 넣어서 구한다 는표현을 풀어서 표본평균으로부터 모집단의 신뢰도를 추정한다 고 보면틀린건가요?ㅠ
아뇨 맞습니다.
일단 정리해보면요,
틀린 풀이
1. 문제에서 주어진 "표본 표준편차"를 이용해서 모표준편차를 구한다.
2. 신뢰도 추정공식의 (시그마)에 1번에서 구한 모표준편차를 넣어서 신뢰구간을 구한다.
여기서 틀린점은, 1번과정에서 쓰이는 공식이 "표본표준편차"가 아니라 "표본평균의 표준편차"를 구하는 공식이기때문입니다.
제대로 된 방식은 아래와 같습니다.
1. "모표준편차"를 모를때는 "표본표준편차"를 이용하여 신뢰구간을 구할수 있다는 것이 알려져있다.
2. 위에서 주어진 숫자 그대로 신뢰구간 공식에 넣어서, 모집단의 신뢰도를 추정한다.
감사합니다! 덕분에 개념확실히다지고가네요ㅎㅎ
스승님 수학에서 한 수 또 배워갑니다.(스크랩 좀 해갈게요~)
프로필 사진 바꾸셨군요... 그 전 프로필 사진이 인상깊었는데 ...ㅋㅋ
(시그니쳐에 담긴 말들이 궁금증을 자아내는 군요. project VT?)
하하;;; 그냥 컨셉 전환용으로 바꿔봤어요ㅋㅋㅋ
project VT는 내년되면 잘 알게 되실거예요 ㅋㅋㅋ
닉도 바꾸셨네요 ㅋㅋ 뭔진 모르겠지만 기대하고 있겠습니다~
진리의 정석
정석은 진리입니다!!
저도 문제풀면서 깨달았던건데 다시확인하고가네요
임의추출이 한번 뽑는거죠 여러번 뽑는게 아니라...??..
임의추출은 한번, 반복의 개념이라기 보다는 [랜덤으로 추출한다]는 개념으로 받아들여야 하지 않을까요.
용어의 개념을 뭉뚱그리지 않으려하며 교과서를 몇
.......네?
저도 이부분 헷갈려서 인강으로 해결했었는데 해결하고 나서 학교 수업을 들어보니 학교 선생님도 표본평균의 표준편차와 표본표준편차의 차이점을 모르더군요..
허허.....학교 선생님이 아무래도 오랫동안 가르치지 않는 부분이다 보니 잊으셨나 보네요.
하긴, 통계부분은 몇개월만 지나도 바로 싹 다 잊어버리고 새로 공부해야 될 지경이긴 하지요 ㅠㅠ
통계부분은 독학을 주로 하여 인강을 곁들이는 것이 진리!
조금 수정할 부분이 있는 것 같은데요,,
위에 적어놓은부분에 모평균이랑 표본평균이랑 같다고 되있서요.
어느 부분인지 구체적으로 말씀해 주실수 있나요?
'또한 이런 풀이가 있다고 합시다.'
밑에 글에서,
'm표본=m모집단'부분이요.
모평균을 추정하는 문제인데,
모평균이 표본평균과 같다고 하면 논리적으로 모순인거 같고요,
원래 모평균은 표본평균의 평균과 같다고 하잖아요 ㅎㅎ
제가 뭘 설명하고자 하는건지 글을 끝까지 읽어보시면 알거예요ㄷㄷㄷ;;;
앞부분만 읽으시면 오류가 있는것처럼 보이는게 당연합니다.
이 글의 메인 주제는 언급된 "저 풀이가 틀렸다"는 것을 설명하는 글입니다.
"표본 평균의~~~" 와 "표본의 ~~~"가 다르다는 것을 설명하는 것이 포인트.
저 예시로 든 풀이에서는 설명을 위해 일부러 논리적 오류가 있는 풀이를 넣어두었고요,
지금 이 글의 메인 포인트는 "저 풀이가 왜 틀렸는가?" 에 대해서 설명하는 거예요.
수정할것이 있는게 당연합니다. 틀린 풀이를 일부러 넣어둔거니까요.....^^;;;
제 글에 관심 가져주셔서 감사합니다~~!!