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글쓰는상어 [419721] · MS 2012 · 쪽지

2012-10-13 22:48:02
조회수 1,066

[가형]알아두면 유용할 것 같은 공식.

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/0003119833

안녕하세요, 이번에 시험보는 재학생중 한명입니다. 수학.. 자신있는건 아니지만, 혼자 탐구하는걸 좋아합니다.

그러던중 우연히 발견한 공식인데요.. 모두 공유하면 좋을것 같아서 이렇게 글을 올려봅니다.



일단 결론부터 말하자면 '비정사영의 내적 = 정사영의 내적 + 각 끝점의 정사영까지의 높이의 곱' 입니다. 마지막은, 그림으로 설명하자면 쉽지만, 글로표현하자니 힘들군요.

혹시 이런 공식 이미 찾은 수학자나 선생님 있으면 링크나 이름좀 말해주세요. 존경하겠습니다 ㅜㅜ
아, 그리고 오류난 부분 이나 반례있으시면 언제든 얘기해주세요

<증명>
(O,a,b는 같은 평면상에 위치한다.)
(Oa는 OA의 정사영이며, Ob는 OB의 정사영이다.)
여기 그림에서 OA벡터를 a벡터라고 하고, OB벡터를 b벡터라고 하자.
또한 ∠AOa = α , ∠BOb = β, ∠aOb = θ,∠AOB = γ 라고 하자.
여기서 ab의 길이는 제2코사인 법칙을 통해 루트(Oa의 길이의 제곱 + Ob의 제곱 - 2*(Oa의 길이)*(Ob의 길이)*cosθ) 이다.
B에서 선 Aa에 수선을 내린 점을 H라고 했을때, AH의 길이 = Aa의길이 - Bb의길이 이다.
따라서, 직선 AB의 길이는 피타고라스의 정리에 의하여 ab의 길이의 제곱 + AH의 길이의 제곱이다.
그런데 여기서 Oa의 길이 는 acosα이고, Ob의 길이는 bcosβ이고, Aa의 길이는  asinα,  Bb의 길이는 bsinβ이다.
따라서 식을 정리해보면
그런데 여기서
이므로 이를 대입하면
이런 식이 성립합니다. 여기서 양변에 ab를 곱하기만 해주면
처음에 말했던 '비정사영의 내적 = 정사영의 내적 + 각 끝점의 정사영까지의 높이의 곱' 즉,
이 식이 나옵니다.
만약 평면상에 있다고 했을때는 θ=0 일때를 말하는 것이므로 성립합니다.




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