수학덕후용 / 미분가능성과 도함수의 연속성 사이의 관계
이번 글은다음 링크에 게시된 질문을 보고 작성하게 되었습니다.
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3073848#c_3078455
저 역시도 수능을 공부하던 시절 미분에 대한 이해가 점차 깊어지면서 어느 순간 이 문제를 가지고 심각하게 고민한 적이 있었고요. 이 문제를 제대로 이해하면서 수학실력이 한 단계 성장할 수 있었던 거 같습니다.
수학멘토로 활동하면서도 잊을만하면 한 번씩 이 질문을 받는 것을 보면, 이 성장통을 겪는 것이 오직 저뿐만인 것은 아닌 것 같아요. 이참에 아예 FAQ로 정리해놓으면 편리하겠다 싶어서 간단히 글을 두드려보았습니다. 모쪼록 많은 학생들의 시행착오를 줄여줄 수 있길 바랍니다.
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저도 문제풀다가 혼자서 찾아다니다 증명햤었던개념이네여 ㅎㅎ 미분은가능인데 도한수가불연속!? 그래서 특이한함수가아니면 로피탈을써서 도함수의극한이 도함수의값이라고 가정하고 푸는게 쉬워졌어요
얼마 남지 않은 수능에서 좋은 점수를 받을 역량을 갖춘 학생이네요. 지금 언급한 것처럼 만약 도함수가 연속이라면
(평균값정리를 이용해서) "도함수의 좌극한"과 "왼쪽에서 잡은 접선의 기울기"(좌미분계수)는 같다
는 사실 또한 증명할 수 있습니다. :)
특이한함수가아니면 도함수 극한과 미분계수는 같다는 말씀이신가요 ??
예. 고등학교에서 배우는 99.9%의 함수(다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수)에선 이런 이상한 일이 벌어지지 않습니다. :)
2의 예에서 x가 0이 아닐때는 주어진 값이고 0에서는 함수값을 0으로 주어야 함수가 0 에서연속이고
이때 0에서 미분 가능성을 이야기할 수 있습니다.
옙. 수정했습니다. 감사합니다. XD
제가 공부하다 예전에 궁금했던 내용이네요.
잘 보겠습니다.
제 노력 때문에 누군가가 겪을 시행착오가 줄여준다면 큰 영광이죠. 감사합니다. ㅎ
함수 f (x) 가 x=a에서 미분가능하면 f '(x) x=a에서 도함수의 극한값이 존재한다
맞는 명제 인가요?
틀리지 않을까...요? x=a에서 미분가능하다는 말은 그 점에서만 따지는거지 그 근방의 경향을 알 수 없잖아요??
이번 글을 꼼꼼하게 읽어보시면 질문하신 명제가 거짓인 이유와 구체적인 반례도 확인하실 수 있습니다. XD
죄송하지만 그렇다면 도함수의 연속성이 정의되기 위해선 어떤 가정이 필요한가요??
또 궁금한 점이요 미분계수가 존재한다고해서 그점에서 도함수가 연속이 아니란 것은 알겠어요
그런데 마지막에 불연속점에서 굉장히 지1랄맞게 진동하는 형태가 의미하는것이 매우 헷갈리는데요..
도함수가 불연속이지만 원래함수가 연속일수 있다는 말씀이신가요?? 위에 x^2sin1/x에서는 원래 함수가 x=0에서 정의 되지않아요 그러니 원래 함수자체가 불연속이었던 거죠
소동님 말씀대로 어떤 불연속 함수가 어떤함수의 도함수가 된다면 도함수가 존재하는 함수는 연속함수 일테고 연속하는 함수에서 도함수가 불연속일수 있다는게 이해가 잘 안가네요(x^2sin1/x는 불연속함수로써 그에 대한 예시가 안된다고 생각합니다..)
번거롭게 해드려 죄송합니다..ㅜ
Narcisista'//
"위에 x^2sin1/x에서는 원래 함수가 x=0에서 정의 되지않아요 그러니 원래 함수자체가 불연속이었던 거죠 "
이부분이 틀렸습니다. x=0 에서 정의하기 위해 함수에 x=0 일땐 f(0)=0 이다 라고 따로 정의를 했잖아요
f(x)는 x=0 에서 연속입니다. 그리고 x=0 에서 미분 가능하다는 말자체에도 f(x)가 x=0 에서 연속이라는
의미까지 포함하고 있는것이구요
감사합니다 미처 그부분을 놓쳤네요.
1. 그러면 도함수의 연속성을 정의하기 위해서 필요한 조건은 무엇인가요???
2. 그리고 위에 처럼 x=0에서만 0이라고 정의해주는것과 같이 특별한 조건이 없이 어떤 함수만 놓고 보았을때(ex 단 x=k일때 C이다 or x
1. 도함수가 연속인지 여부는 도함수를 직접 구해서 살펴보면 됩니다. (이 과정이 별로 어렵지 않아요.) 별도의 강력한 판정법은 적어도 제가 아는 범위에선 존재하지 않습니다.
다만 이계도함수가 존재하는 함수라면 도함수가 미분가능하니까, 당연히 도함수는 연속이겠죠. 고등학교에서 다루는 많은 함수(다항함수, 삼각함수, 지수-로그함수)들은 무한번 미분가능한 함수이기 때문에 도함수도 당연히 연속함수입니다.
2-1. 등호를 여러 번 써서 함수의 식을 표현하는 것을 자연스럽지 않다고 생각하시는 것 같은데요. 제가 예로 든 함수는 서로 다른 함수를 허접하게 이어붙인 것이 아니라, 극한값을 함숫값으로 준 아주 "자연스러운" 함수입니다.
2-2. 구간 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하다는 것과 도함수가 연속이란 것은 별 연관이 없습니다. 아마 앞서 제가 단 댓글 중에 평균값정리를 언급한 것 때문에 이런 추측을 하신 것 같은데요. 주어진 것과 구하는 것을 믹스해서 이해하고 계시네요. 다시 한 번 생각해보세요. :)
본문 그림이 안떠요.. 저만 이러나
대한수학회에서 편찬한 수학백과사전에 수록된 용어를 수학용어가 아니라고 말하는 당신은 대체..
헐...도함수의 사잇값 정리
저런게 있었네요
미분가능하면서 도함수 불연속일때, 불연속인 점에서의 미분계수와 그 주위 도함수의 값이 어떤 관계가 있지 않을까 싶었는데 궁금증이 해결됐어요 감사합니다ㅎㅎ
그런게 궁금한게있는데요 x=a에서 미분가능할때
1.도함수의 a에서의 좌 또는 우극한값 존재
2.도함수의 a에서의 극한값 존재
1.이성립하면 도함수의 극한값과 미분계수가 같나요?
아니면 2까지 성립하면 도함수의 극한값과 미분계수가 같나요?
아니면 둘다 항상성립은 아닌가요?
예를 들어 예시들어주신 함수에서는 x>0일때 f(x)=0이라두면
도함수 우극한값=0
미분계수=0
좌극한진동인데 미분가능하잖아요!
와 대박!!
좋은 자료 감사합니다!