<2012 도쿄 공업 대학 전기 일정 문제 2>

(2)번은 문제가 이상한 것 같은게, 양의정수 n에 대해서 [n]=n인데 그럼 모든 양의 정수가 답일텐데.. 이걸 의도하진 않았을것 같아요.

일본어 부분 보니깐 루트가 달려있군요! ㄷㄷ

아 말도안되는 계산 실수를 했네요....
(1)번은 시그마 계산하면( 3^100 - 1)/2 인데 이때, 3^100은 1의 자리가 9이니까 1을 빼서 2를 나누든 원래든 자릿수가 같고
즉 3^100 / 2의 자리수랑 같아집니다. 이때, 이 값에 log 를 씌우면 47.71 - log2가 나오는데 log2가 0.7보다 작은것은 당연합니다. 즉, 지표가 47이므로 48자리이겠네요.

(2) Let a positive integer m given, and n be a positive integer satisfying m = [√n]. Then it is clear that m ≤ √n < m+1.

Now assume m divides n. By squaring, we have m² ≤ n < m²+2m+1. Since n is an integer, we then have m² ≤ n ≤ m²+2m.

On the other hand, we can write n = km for some integer k. Then the inequality above shows that we must have m ≤ k ≤ m+2.

Conversely, for given m and k satisfying m ≤ k ≤ m+2, the integer n = km is a multiple of m with [√n] = m. Therefore, for each m there exists exactly 3 such integers n.

Thus it suffices to count the number of pairs (m, k) such that m ≤ k ≤ m+2 and mk ≤ 10000. Writing down such pairs in ascending order with respect to m followed by k,

m = 1 : (1, 1), (1, 2), (1, 3)
m = 2 : (2, 2), (2, 3), (2, 4)
...
m = 99 : (99, 99), (99, 100), (99, 101)
m = 100 : (100, 100)

Therefore the answer is 99×3 + 1 = 298.