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sos440 [104180] · MS 2005 · 쪽지

2012-06-01 20:59:54
조회수 2,815

아래 고난이도 문제 풀이

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/0002912033

초등적인 풀이가 있는지는 모르겠지만, 제가 할 수 있는 능력 범위 내에서는 대충 이렇게 풀 수 있습니다:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha%20=%20\frac{2\beta}{1+\beta^2}

를 만족하는 유일한 -1 < β < 1 를 잡읍시다. 그러면

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%201+\alpha\cos%20x%20&=1+\frac{2\beta}{1+\beta^2}\cos%20x\\%20&=\frac{1+2\beta\cos%20x+\beta^2}{1+\beta^2}\\%20&=\frac{|e^{ix}+\beta|^2}{1+\beta^2}%20\end{align*}

이므로,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\log(1+\alpha\cos%20x)%20&=\log\left(\frac{|e^{ix}+\beta|^2}{1+\beta^2}\right)\\%20&=-\log(1+\beta^2)+2\log|e^{ix}+\beta|\\%20&=-\log(1+\beta^2)+2\log|1+\beta%20e^{-ix}|\\%20&=-\log(1+\beta^2)+2\mathrm{Re}\log(1+\beta%20e^{-ix})\\%20&=-\log(1+\beta^2)+2\mathrm{Re}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\beta^n}{n}\,e^{-inx}\\%20&=-\log(1+\beta^2)+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\beta^n}{n}\,\cos%20nx%20\end{align*}

입니다. 그런데 우변의 무한급수는 Weierstrass M-test로부터 uniformly converge하므로, 양 변을 0에서 π까지 적분할 때 항별적분이 가능합니다. 따라서

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\int_{0}^{\pi}\log(1+\alpha\cos%20x)\;dx%20&=-\pi\log(1+\beta^2)+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\beta^n}{n}\int_{0}^{\pi}\cos%20nx\;dx\\%20&=-\pi\log(1+\beta^2)\\%20&=\pi\log\left(\frac{1+\sqrt{1-\alpha^2}}{2}\right)%20\end{align*}

입니다.


뭐 아니면 적당히 식 조작해서 residue calculation을 해도 되겠지요. 예를 들면

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%202\int_{0}^{\pi}\log|1+\beta%20e^{-ix}|\;dx%20&=\mathrm{Re}\int_{-\pi}^{\pi}\log(1+\beta%20e^{ix})\;dx\\%20&=\mathrm{Re}\int_{|z|=1}\log(1+\beta%20z)\;\frac{dz}{iz}\qquad(z=e^{ix})\\%20&=0%20\end{align*}

와 같이 말이지요. 단, 여기서 마지막 줄은 적분하는 함수가 |z|=1 과 그 내부에서 holomorphic하기 때문입니다. z = 0 이 removable singularity라는 건 공공연한 비밀이지요.

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sos440 [104180]

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