대학 확률분포 문제 질문이요

Question

joint PDF fX,Y(x,y) = 1/a^2 , 0≤x≤a, 0≤y≤a , a>0
= 0 , otherwise

이때, W = max (X/Y , Y/X ) 일 때, W의 CDF , PDF 구하라

하필 이 문제만 풀이가 없네요 ㅠ

sos440 · Accepted Answer

X, Y는 0과 a 사이의 값을 가지는 연속확률분포이므로, 일반성을 잃지 않고 X, Y > 0 이라고 가정하여도 무방합니다.

그러므로 w ≤ 0 이면 P(W ≤ w) = 0 입니다.

이제 w > 0 이라고 가정합시다. 그러면

W ≤ w
⇔ max(X/Y, Y/X) ≤ w
⇔ X/Y ≤ w 그리고 Y/X ≤ w
⇔ X ≤ wY 그리고 Y ≤ wX

입니다. 그런데 만약 w < 1 이면, X ≤ wY ≤ w²X 인데, X > 0 이므로 이 부등식을 만족시키는 X의 값은 존재하지 않습니다. 따라서 w < 1 이면 P(W ≤ w) = 0 입니다.

그러므로 w ≥ 1 이라고 가정합시다. 그러면

P(W ≤ w) = P(X ≤ wY 그리고 Y ≤ wX)

인데, 어차피 f(x, y) = 1/a² 인 영역은 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a 이므로, 이 정사각형 영역 내에서 부등식 x ≤ wy, y ≤ wx 에 의해 주어지는 영역의 넓이만 구해서 1/a² 배를 해주면 원하는 확률을 얻습니다. 이때, 주어진 영역을 그래프에 그려본 후 간단한 기하학적 논리를 펼치면

P(W ≤ w) = 1 - (1/w)

임을 알 수 있습니다. 물론, 주어진 영역 위에서 결합확률밀도함수의 적분을 계산해도 상관 없습니다만, 귀찮은 건 피해야지요. 어쨋든 그러므로 우리는 W의 cdf F(w)를 찾았고, 다음과 같이 주어집니다:

F(w) = 1 - (1/w) (w > 1)
F(w) = 0 (w ≤ 1)

따라서 W의 pdf p(w)는

p(w) = dF/dw
= 1/w² (w > 1)
= 0 (w < 1)

입니다.

대학 확률분포 문제 질문이요

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