고난도 수학문제 (1g)

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/0002785668

저번에 올린 증명문제에서 몇몇 분들의 풀이를 보니

확실히 수학과학생 혹은 경시대회에서 증명 논술을 해본분과, 그 여집합인 분들의 서술실력이 현격히 차이가 나더군요.

그래서 증명문제는 올리지 않겠다고 마음먹었으나

2번의 증명문제는 깔끔하게 떨어지기에 올려봅니다.

팔로우 0

[ 노크 ] 22개 대학합격인증자를 위한 안전하고 클린한 커뮤니티, 노크

[ 국어 1등급을 정말 원한다면 2026 ] 누적판매 20만부 돌파! 누구나 단기간에 고정 1등급 가능

[ 기출의 파급효과 수학 ] 안정적인 수학 1등급, 빠르게 달성

0 XDK (+0)

유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

take me home [339827]

쪽지 보내기

알림
스크랩
신고

sos440 · 104180 · 12/02/19 15:46 · MS 2005

1. 연산자 Δ와 σ을 각각

Δa(n) := a(n) - a(n-1)
σa(n) := a(0) + … + a(n)

으로 정의합시다. 그러면 부분적분(integration by parts)의 합에 대한 analogy인 summation by parts

∑_{k = 0 to n} a(k)b(k) = a(n)σb(n) - ∑_{k = 0 to n-1} Δa(k)σb(k)

로부터,

∑_{k = 0 to n} k^2/2^k
= n^2(2 - 1/2^n) - ∑_{k = 0 to n-1} (2k+1)(2 - 1/2^k)
= n^2(2 - 1/2^n) - [(2k+1)(2k + 1/2^k)]_{k = n-1} + ∑_{k = 0 to n-2} 2(2k + 1/2^k)
= n^2(2 - 1/2^n) - (2n-1)(2n - 2 + 2/2^n) + [2k(k+1) + 2(2 - 1/2^k)]_{k = n-2}
= n^2(2 - 1/2^n) - (2n-1)(2n - 2 + 2/2^n) + 2(n-2)(n-1) + 2(2 - 4/2^n)
= 6 - (n^2 + 4n + 6) / 2^n

입니다.

2. |f(x)/x| ≤ |sinx/x| 에 x→0 을 취해줍니다.

p.s. 저 개인적으로 수리영역은 수학이 아니라고 생각합니다. 수능의 수리영역은 극히 한정된 시간 내에 가능한 많은 문제의 답을 추론해내는 데 목적이 있고, 이는 research 수준에서 수학도가 추구해야 하는 바와 가장 상반된 타입의 문제 접근법이지요. 그러니 굳이 수학적인 증명을 요구할 필요는 없어보입니다.

좋아요 1 답글 달기 신고
take me home · 339827 · 12/02/19 15:59 · MS 2010

수리영역이라곤 해도 본질적으로 수학입니다
능력은 어려운문제를 통해 배양되니
수학의 꽃인 증명문제를 등한시하고 논의가
진행될수없다는게 제 생각입니다
요새 이런 담론이 활성화되어 '수능적'이라는 어휘가 형성될만큼 맞춤형 방법론이 유행을하고 있는데.
제 개인적인생각으론, 이과 최상위권은 수학적 서술방식에 강할것이고. 그 특성이 변별력으로 작용할거라 생각하니다
이곳이 추구하는바가 최상위권이니
그에 합당한 증명문제가 핀트에 어긋난다고는 생각하지않습니다만 님의견을 수용하여, 단답형 문제해결력위주로 문제를 올려야겠습니다.
좋은 의견감사드립니다

좋아요 0 답글 달기 신고
sos440 · 104180 · 12/02/20 18:52 · MS 2005

아, 제 말은 증명문제를 올리는 것이 나쁘다 이런 의미가 아니라, 당연히 논증에 숙달된 사람과 그렇지 않은 사람들 사이에 현격한 차이가 날 수밖에 없다는 뜻이었습니다.

즉, 증명을 잘 못 하는 게 허물이 아니라는 거죠...;;

좋아요 0 답글 달기 신고
take me home · 339827 · 12/02/19 16:04 · MS 2010

공격적인 어투의 문장 일부분은 수정하겟습니다

좋아요 0 답글 달기 신고
heart NO.3 · 287552 · 12/02/20 18:42 · MS 2009

저 ... 그냥 수학 좋아하는 수험생인데 ... 계속 증명문제도 올려 주셨으면 합니다.

그냥 평범하게 지방에서 학교생활 하는 학생입장에서 사실 저런 내용을 접하는게 쉽지 않거든요. ;;

그리고 수능이 증명과 연관이 없건 말건 볼사람만 보면 되는것 아닌지 ...

좋아요 0 답글 달기 신고
송송송송ㅅ옷오 · 384903 · 12/02/24 16:36 · MS 2017

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

좋아요 0
twozh · 404620 · 12/05/10 17:55 · MS 2012

헐 맨윗분 그거 대학과정이져ㅋㅋㅋㅋ
그냥 고등수학 범위내에서는 멱급수 두번하면 됩니당ㅎ

좋아요 0 답글 달기 신고