(확률문제) 제가 푼 풀이의 오류를 가르쳐주세요.

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<문제>

그림 1과 같이 네 개의 스위치를 갖고 있는회로가 있다. 이들 스위치가임의의순간에 닫혀 있을 확률은 어느것이나 1/2라고 한다. 그림 1 회로에서 A,B사이에 전류가 흐를 확률을 p₁이라하고 그림 2와 같이 사각형이 2개인 회로에서 전류가 흐를 확률을 p₂라고 한다. 같은 방법으로 n개의 사각형을 가진 회로에서 A,B 사이에 전류가 흐를 확률을 p_n이라 하면 lim p_n(리미트 n이 무한으로 감)의 값은? (단 여기에서 각가의 스위치가 열리고 닫히는 것은 서로 독립이라 한다.)

<풀이>

p_n에서 스위치의 개수는 3n+1개이다.
그리고 위와 아래를 연결해주는 도선(이제부터 이 도선을 '가운데 도선'이라 부른다.)의 개수는 n+1개이다.
이 회로에서 전류가 흐르기 위해서는 최소한 1개이상의 가운데 도선과 그 도선의 왼쪽에 위치하는 위, 아래 도선 위에 존재하는 모든 스위치가 닫혀 있어야 한다.

그럼 n+1개의 가운데 도선 중에 1개의 도선의 스위치만 닫혀 있을 경우를 생각해보자.
_n+1C₁*(1/2)^a(1/2)^b. 설명을 하자면 a+b = 3n+1이다. 그리고 a는 선택한 하나의 가운데 도선과 그 도선 왼쪽에 있는 위,아래 도선에 있는 모든 스위치의 개수이고, b는 나머지 스위치의 개수이다. 즉 (1/2)^a는 a개의 스위치가 닫혀있을 확률을 의미하고 (1/2)^b는 b개의 스위치가 열려있을 확률을 의미하다.

n+1개 가운데 도선 중에 2개의 도선의 스위치만 닫혀 있을 경우는 _n+1C₂*(1/2)^a(1/2)^b이다. 여기의 a,b는 위에서 나온 a,b와는 다른 것으로 a는 선택한 2개의 가운데 도선과 그 도선들 왼쪽에 존재하는 위,아래 도선에 존재하는 모든 스위치의개수이고, b는 나머지 스위치의 개수이다.

이러한 방법으로 n+1개까지 선택할 수 있다. 그 모든 값을 더하면
p_n= (1/2)³ⁿ⁺¹(_n+1C₁+_n+1C₂+ ~ + _n+1C_n+_n+1C_n+1) = (2ⁿ⁺¹-1)/2³ⁿ⁺¹
즉 lim p_n(리미트 n이 무한으로 감) = 0
---------------------------------------------

이 문제의 답은 4/7입니다. 답지 및 일반적인 풀이 방법은 이해했습니다.
그런데 제 방법으로 했을 경우 답이 다르게 나오는데 그 이유를 가르쳐 주십시오. (풀이의 오류와 반례 둘 다 들어주십시오.)

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DAYS · 257798 · 12/02/08 13:38 · MS 2018

가운데 도선 중 3번째 도선이 닫혀있다고 생각하면 위아래 도선 중 3번째를 기준으로 왼쪽에 있는 것은 모두 닫혀있고 오른쪽에 있는것은 모두 열려있어야 한다고 생각하시는건가요? 오른쪽에 있는것은 모두 열려있어야 하는 것이 아니라 닫혀있어도 아무 상관이없습니다.

그리고 가운데에 2개이상이 닫혀있다고하면 가장 왼쪽것을 기준으로 생각하실건지 어떻게생각하실건지..
풀이방향자체가 전혀 잘못된것으로보입니다.

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