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박주혁t [370907] · MS 2011 · 쪽지

2018-04-28 08:48:35
조회수 10,246

[박주혁&손우혁 칼럼] 매개변수, 어디까지 공부해봤니?

게시글 주소: https://faitcalc.orbi.kr/00016961187


이번에도 기다리시던 손우혁샘의 칼럼입니다.


이번주제는 "매개변수" 네요^^


다음주에 저는, 문/이과 모두 볼수 있는 칼럼을 준비중입니다~


문과분들은 다음주에 꼭 읽어주세요^^


시작합니다~


------------------------------------------


반갑습니다. 손우혁입니다.


두 번째로 인사 드리는군요.



박주혁 선생님과 제가 모의고사를 제작하기로 마음먹었을 때,

두 가지 특징이 잘 드러난 모의고사가 되었으면 한다는 얘기를 나눈 적이 있습니다. 


첫 번째,
단지 킬러문항만 신경쓴 모의고사가 되지말자!


두 번째,
풀고 나면 공부가 된다는 느낌을 받게 하자!



였는데, 4월 Rise 공개이후에 많은 학생들이 비슷한 반응을 보여주어서 

힘을 많이 얻었습니다. 


얻은 에너지를 2회에도 쏟아 부을 예정이니 많은 기대 부탁 드립니다. 


제가 두 번째로 잡은 주제는 6월 평가원의 범위이기도 한 평면곡선의 접선, 

그 중에서도 매개변수 곡선에 관한 이야기입니다. 



매개변수 곡선을 한 마디로 표현하자면,


프로듀스 101의 장근석이 한 말이 떠오르는 군요.
‘

긁지 않은 복권이다.’


그동안 평가원과 수능 시험의 미적분 고난도 문항에 

사용된 함수들을 살펴봅시다.


개정 교육과정 이전에 가장 많이 등장했던 형태가 

지수로그 함수와 다항함수의 곱, 그리고 절댓값을 활용한 형태였죠.


그러다가 개정교육과정으로 넘어온 최근 2년간은 기존의 유형에서 

탈피하려는 노력이 많이 보였습니다. 


크게 세 가지 변화가 눈에 띄었는데



첫 번째, 합성함수의 적극적 사용


두 번째, 수열 접목


세 번째, 미정계수의 범위에 따른 함수 분할



이런 변화로 인해 계산은 더욱 복잡해지고 따져 주어야 

할 것들이 많다보니 내공이 부족한 학생들을 손도 못대는 

난이도가 되어버린 것이죠.


그렇다면 위의 세 가지 특징이 앞으로도 유지가 될 것인가?
그건 너무 안일한 생각이 아닌가 합니다.


예전과 달리 킬러문항을 적극적으로 대비하면 고득점을 할 수 있는, 

요즘 수능 시험은 그 자체가 자충수가 되어 오히려 공부하기 편한, 

최소한 무엇을 공부하면 된다는 것이 정해진 시험이 되어버렸죠.


이러한 사실을 평가원에서도 충분히 인지하고 있을 것이기 때문에, 

앞으로의 미적분 21, 30 번의 시험 경향은 한마디로 

이렇게 요약할 수 있을 것입니다. 


" 무엇을 대비하든 대비하지 않은 것이 나올 것이다. " 


아주 섬세하게 들여다 보았을 때, 부분적으로 사용된 아이디어는 

중복사용이 될 지라도 처음에 문제를 보았을 때의 느낌 만큼은 완전히 

새로운 유형의 문제가 나올 가능성이 높습니다.


그런 느낌을 주기 위해선 수식이 정리되는 패턴이나 

기하적인 관찰의 포인트에 변화를 주는 것이 아니고 

최초에 제시된 함수를 새롭게 출제할 가능성이 높다고 봅니다. 

(물론, 개인적인 생각임을 밝힙니다)



자, 이제 매개변수 곡선으로 돌아와 보죠


기하와 벡터 고목에 들어와 있긴 하지만 ‘미적분 II’에 

실려 있어도 이상할 것이 없는 단원이기도 하죠.


매개변수 곡선의 정체성은 뭘까요? 

양함수로는 쉽게 표현되지 않는 곡선을 표현하는 도구 


이것이 매개변수 곡선의 정체성입니다.


느낌이 오나요?


양함수와는 전혀 다른 형태의 곡선을 만들어내는 

도구이기 때문에 제가 앞서 말한 새로운 느낌의 문제를 

만들기에 아주적합한 재료가 되는 것이죠.


그렇다고 해서 대학교때 배우게 되는 아르키메데스 와선 같은 것이 

나올 가능성은 높아 보이지 않구요, 


도함수를 통해 분석할 수 있을 정도를 출제할 가능성은 

충분히 높아 보입니다. 


자, 그럼 매개변수 곡선을 말 그대로 곡선을 그리는 도구로서 인식했을 때, 

주의 해야할 점을 정리해봅시다. 


우선 두 가지 간단한 예를 통해 살펴볼까요.

그리고, 각각의 도함수는 

가 됩니다. 



단순히 부호변화만 관찰해 보자면 


위쪽 함수는 t가 -1일 때 극대, t가 1일 때 극소가 

되는 것처럼 보입니다. 


두 번째 함수는 순서대로 t가 0,1,2일 때, 극소, 극대, 극소가 

되는 것처럼 보입니다. 물론 t가 1일 때는 미분 불가능한 첨점으로서 

극대가 되는 것이구요.


그런데 실제로 두 곡선을 xy평면위에 나타내보면 

첫 번째 곡선만 우리가 예상한 형태가 되고 두 번째 곡선은 

예상과는 전혀 다른 형태가 됩니다. 



차이점이 무엇일까요? 


매.개.변.수.


라는 표현에서 알 수 있지만 주로 사용되는 t라는 문자는 

이 곡선의 주인공이 아닙니다. t를 매개로 하여 결국 xy평면에 

그래프를 그리는 것이기 때문에 도함수의 부호변화, 극대, 극소의 위치 

같은 것들은 x중심으로 분석되어야 합니다.


첫 번째 곡선은 t와 x의 증가 방향이 일치합니다. 

그런데 두 번째 함수는 그렇지 않습니다.


상세히 살펴보지 않고 극대, 극소인 부분만 보더라도 

첫 번째 곡선은 t=-1, 1일 때 x=-2, 2 로서 순서가 일치합니다. 

극대, 극소 순으로 xy평면에 나타나죠.


반면, 두 번째 곡선은 t=0, 1, 2 일 때, x=0, -1, 0 이 됩니다. 

심지어 값이 중복되는 군요. 그래서 이 경우 xy평면에 그래프를 

그리면 t의 증가방향과 x의 증가 방향이 일치하지 않아서 전혀 

다른 형태의 그래프가 나오는 것입니다.



그렇다면 어떻게 대비를 해야 하느냐.
두 번째와 같은 곡선은 단순계산 문제보다는 ㄱ,ㄴ,ㄷ 문제로 출제될 

가능성이 높습니다. 시험장에서 처음보고 이러한 특징을 발견하기란 

쉽지 않기 때문에 평소에 한 번이라도 이러한 생각을 해본 경험이 

중요한 것이죠. 


이 글을 읽고 있는 여러분은 이미 알게 되었기 때문에 이

제 신경쓰지 않아도 될 겁니다.


그리고 매개변수 곡선을 보았을 때 습관적으로 t에 관한 함수로 

표현된 x가 증가함수인지 확인해보기만 하면 됩니다. 


만약 증가함수라면 개형에 의존하여 풀이를 할 수 있는 것이고, 

아니라면 수식에 의존하여 풀어나가면 되는 것이죠. 


자, 이제 또다른 주제로 넘어가 볼까요.
x가 증가함수여서 개형을 잡는 것이 가능한 상태에서도 양함수에서는 

쉽게 볼 수 없는 특징을 하나 더 가지고 있습니다.


그래프 개형을 마무리 할 때, 도함수, 이계도함수를 충분히 분석했다 

하더라도 정의역의 경계값에 대한 극한계산을 통해 끝부분이 수렴하는지

발산하는지를 체크해보아야 하죠.


평가원에서 좋아하는 y=t 라는 x축과 평행한 직선이 곡선과 만나는 점을 

분석해야 하는 문제같은 것을 풀 때 수렴발산 여부는 매우 중요한 역할을 합니다. 




그런데 2017년 6월 평가원 16번 문제 기억하나요?





y=x+t 가 사용되었는데 이 경우 기울기가 1인 점근선의 존재 유무가 

문제에 같은 느낌으로 영향을 끼치게 됩니다.


위의 문제는 그러한 점근선이 존재하지 않지만 조금씩 변형되고 

어려워지는 평가원 문제의 특성상 앞으로는 출제될 가능성이 높은 것이죠.


양함수로 이러한 곡선을 만드는 것은 형태가 너무 노골적입니다. 


과 같이 


y=x 뒤에 수렴하는 형태의 함수가 더해진 경우,

기울기가 1인 직선이 만들어집니다. 

이렇게 출제할 경우 새롭지만 눈치채기 쉽기 때문에 

고난도 문제로 출제하기엔 적합하지 않죠. 


그런데 매개변수로 출제할 경우, 앞에서 사용한 함수를 다시 한 번 살펴보죠.



눈치 채셨나요? 



도함수가 항상 1보다 작은 값일 뿐만 아니라 1로 수렴합니다. 


삼차곡선과 유사하게 생겼을 것 같지만 끝부분이 쌍곡선처럼 발산은 

하되 접선의 기울기가 1을 넘지못하는 형태가 되는 것이죠. 


정확하게 양쪽 끝부분의 점근선의 방정식을 구하는 것은 힘들지만 

기울기가 1을 넘는 직선과 두 번 만날 수 없다는 것은 알 수 있습니다. 

새롭지 않은가요?


아주 복잡하진 않지만 관찰력이 매우 뛰어나야 발견할 수 있는 

사실이기 때문에 고난도 문제에 적합한 함수로 사용하고 이를 

이용한 문제를 출제하기에 매우 적합한 형태의 곡선입니다. 



그렇다면 어떻게 대비할 것인가?



역시나 여러분은 이 칼럼을 읽고 있으니, 이미 대비가 된거죠. 


매개변수는 이러한 특징을 가지고 있다는 사실을 인지하고 

개형을 마무리 할 때, 도함수의 끝부분에 대한 극한을 살펴보기만 하면 됩니다. 


지금까지 매개변수곡선의 그래프를 활용한 문제가 출제되었을 때, 

주의해야할 점 두 가지를 살펴보았습니다. 


우리가 해야 할 것은 이제 두 가지입니다.


위의 내용을 숙지 할 것, 

평가원에서 이 글을 보지 않길 기도하는 것^^


예측 못한 유형을 내고 싶어 할 것이니까요



6평이 어느덧 코앞에 다가왔네요.


이 시기엔 지치지 않는 것도 중요한 것 같습니다. 


놀고 싶은 마음 눌러 담는 것도 중요하구요.



여러분. 여러분 가정의 평화는 여러분 손에 달려있습니다. 

부디 6월 평가원 대비 잘하여 가정의 평화를 유지하도록 합시다.


그럼 저는 다음에 더 알차고 유용한 주제로 찾아오도록 할게요. 수고하세요~




---------------------------------------------------------------


도움이 많이 되셨기를 바랍니다^^


Rise 5월 예비시행은 다음주 제 칼럼과 함께 공지됩니다~


화이팅하세요!!!!







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